Supongamos que te dan un círculo con centro $O$ Tengo curiosidad, ¿cómo se pueden construir con regla y compás tres círculos dentro del círculo mayor de forma que cada uno de ellos sea tangente al círculo mayor y a los otros dos?
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En la imagen de arriba están los pasos secuenciales de cómo lo hice (la imagen de la izquierda son los pasos anteriores y la de la derecha los posteriores). Sólo explicaré la figura construida en el centro. Después de haber dividido el disco en tres (figura izquierda) por los tres radios, construye una cuerda arbitraria S perpendicular a AB. Construir una circunferencia centrada en T tangente a la circunferencia dada en U. Construir una recta que pase por U y por el punto de intersección de la perpendicular y la circunferencia centrada en T. La recta debe intersecarse en el diámetro AB. La recta debe intersecarse en el diámetro AB que es la tangente. El resto es más fácil de seguir a partir de la figura.
Estuve buscando la respuesta a este problema en la red pero fue en vano. Después de mucho ensayo y error, conseguí esta construcción. Aunque no estoy seguro al 100%, soy nuevo en esto de la geometría sin coordenadas.
Si el radio del círculo es 1, el radio de tres círculos que serán internamente tangentes es $2\sqrt{3}-3\approx 0.464$ mediante la fórmula de Soddy, dada en la sección Soddy's circles de este . Puedes construir esta longitud, luego marcarla en un diámetro del círculo para encontrar uno de los centros, y terminar de construir el triángulo equilátero.
Añadido: Para la construcción, haz un ángulo recto con 1 en un lado, gira 2 como hipotenusa, y tienes $\sqrt{3}$ . A continuación, puede marcar una línea para obtener $2\sqrt{3}-3$ . Dibuja el diámetro del círculo que te han dado y marca $2\sqrt{3}-3$ de la circunferencia para hallar el centro de un círculo. Construye un triángulo equilátero de $2(2\sqrt{3}-3)$ bisecado por el diámetro y tienes los tres centros.
