Por favor, demuestre que $f(x)=0$ en $[a,b]$

Question

Supongamos que $f$ es una función continua en $[a,b]$ y $$ \int_a^b f(x)g(x) = 0$$ para toda función integrable. Demuestre que $f(x) = 0$ en $[a,b]. $

Esto es lo que tengo hasta ahora:

Considere cualquier $x \in [a,b].$ Considere cualquier $y >0.$ Diga $g(u) = 1$ para $x<u<x+y,$ y $g(u) = 0$ de lo contrario. Por lo tanto $\int_x^{x+y} f(u) du = 0.$ Por lo tanto $\frac{\int_x^{x+y} f(u) du}{y} = 0.$ tender $y = 0$ obtenemos $f(x) = 0.$ Por lo tanto demostrado.

¿Es correcto?

Answer 1

Pista: Que $x_0$ sea un punto en el que $f(x_0) \ne 0$ Dado que $f$ es continua existe un intervalo alrededor de $x_0$ en el que $f$ es distinto de cero (¿puedes demostrarlo?). Ahora, ¿puedes encontrar un $g(x)$ para lo cual $\int_a^b f(x) g(x) dx \ne 0$ dada esta información?

Answer 2

Tenga en cuenta que $\int_{[a,b]}f^2=0$ . Entonces, $f\ge 0$ . Si existen $x_0$ tal que $f(x_0)>0$ Entonces, por continuidad existe un intervalo tal que $f^2>0$ allí y $\int_{[a,b]}f^2>0$ contradicción.