¿Por qué la fuerza ejercida por un haz luminoso sobre un objeto esférico es independiente de la cantidad de luz reflejada o absorbida?

Question

Cuando una esfera de radio $r$ se coloca en la trayectoria de un haz de luz paralelo de intensidad $I$ la fuerza ejercida por la viga sobre la esfera viene dada por:

$$F=\frac{\pi r^2 I}{c}$$

Obtuve el resultado anterior suponiendo que la esfera era perfectamente reflectante. Sin embargo, resulta que la fuerza ejercida por un haz luminoso de la misma intensidad sobre una esfera perfectamente absorbente del mismo radio también viene dada por la misma fórmula. Además, aunque la esfera refleje y absorba parcialmente los fotones incidentes, la fuerza ejercida sobre ella por el rayo sigue siendo la misma. Comprendí el último caso (parcialmente absorbente y reflectante) imaginándolo como una combinación de los dos primeros casos: totalmente reflectante y totalmente absorbente.

En resumen, la fuerza ejercida por el haz de luz sobre una esfera depende únicamente del área obstruida por el objeto, aquí es sólo el área del círculo más grande de una esfera ( $\pi r^2$ ). Entendí las matemáticas que hay detrás de este resultado. Pero, esto parece ser contra-intuitivo para mí porque, el cambio en el momento en caso de reflexión total es dos veces el del caso cuando el rayo de luz es totalmente absorbido. La fuerza ejercida sobre el objeto no es nada por la tasa de cambio en el momento y por lo tanto la fuerza sobre el objeto que refleja totalmente es más en comparación con los objetos que absorben totalmente o parcialmente.

Sin embargo, en el caso de las esferas colocadas en el haz, la fuerza sobre ellas sigue siendo la misma independientemente de la cantidad de luz absorbida o reflejada. ¿Cuál es la razón intuitiva de este hecho? Además, ¿se trata de una propiedad exclusiva de los objetos esféricos o existen más ejemplos?

Answer 1

Consideremos un fotón que incide en el centro y se refleja directamente sobre sí mismo. Ese fotón da a la esfera el doble de su momento.

Consideremos un fotón que golpea el borde con un ángulo de refilón y sólo se desvía ligeramente. Apenas afecta a la esfera. El cambio de momento es de aproximadamente $0$ .

Si se integra sobre la esfera, se obtiene un cambio de momento medio entre los dos extremos.

Si un fotón es absorbido, no importa cuál sea el ángulo de la superficie. Cede todo su impulso a la esfera.

Has demostrado que el valor medio de la reflexión sale igual que el valor uniforme de la absorción.

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Para otras geometrías, considere un cono en el que la superficie está a 45 grados. La luz se reflejaría en todas partes a 90 grados. Esto impartiría el mismo impulso que al ser absorbida.

Esto también se aplicaría a un disco plano a 45 grados.

Answer 2

Al principio no lo entendí, así que pensé en escribir una explicación cuantitativa. Supongamos un haz de luz con intensidad $I$ incide desde la derecha sobre la superficie de una esfera y considere qué le ocurre a la luz que incide con un ángulo $\theta$ desde el punto principal de la esfera:

La luz incidente lleva momento $$\Delta p_x=-\frac Ic\cos\theta\,d^2A$$ En el $x$ -dirección, donde $d^2A=R^2\sin\theta\,d\theta\,d\phi$ es el elemento areal sobre el que incide la luz y $c$ es la velocidad de la luz. El factor de $\cos\theta$ está ahí porque el elemento areal está inclinado en ángulo $\theta$ al haz incidente. Como puede verse en la figura anterior, la luz reflejada transporta el momento $$\Delta p_x^{\prime}=\frac Ic\cos2\theta\cos\theta\,d^2A$$ Por tanto, el cambio de momento de la esfera es $$\Delta p_x-\Delta p_x^{\prime}=-\frac Ic(1+\cos2\theta)\cos\theta\,d^2A$$ Sumando esto sobre la cara frontal de la esfera obtenemos $$\begin{align}F_x&=\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi/2}-\frac Ic(1+\cos2\theta)R^2\cos\theta\sin\theta\,d\theta\,d\phi\\ &=-\pi R^2\frac Ic\int_0^{\pi/2}\left[1+(\cos2\theta)\right]\sin2\theta\,d\theta\\ &=-\pi R^2\frac Ic\left[-\frac12\cos2\theta+\left(-\frac14\cos^22\theta\right)\right]_0^{\pi/2}\\ &=-\pi R^2\frac Ic\left[1-(0)\right]\end{align}$$ Así que con o sin reflexión estoy recibiendo $$F=\frac{\pi R^2I}c$$ A la izquierda como la fuerza sobre la esfera debida al rayo de luz.

En cuanto a la intuición: si la imagen anterior correspondiera a un cilindro, la reflexión aumentaría la fuerza en $33\%$ en comparación con la absorción. Había pensado que podría estar relacionado con el hecho de que un trozo de una esfera de radio $R$ de espesor $h$ siempre ha $A=2\pi Rh$ de la superficie original, independientemente de dónde se haya tomado el corte, pero si observamos la derivación anterior podemos ver que se trata de un fenómeno completamente distinto.

Answer 3

Analicemos los dos casos en detalle. Para concretar, consideremos que la luz viene a lo largo del eje Z, alineada con el $\theta = 0$ de un sistema de coordenadas esféricas.

Ahora considere dos puntos:

Primero, un poco de área $dA$ en el polo ( $\theta = 0$ ), con $I\,dA$ la luz incidiendo en él. Si es absorbida, es $dp = {I \over c}\,dA$ en el impulso transferido. Si se refleja, será el doble.

Consideremos ahora una zona en el limbo, cerca pero no del todo en el borde ( $\theta = \pi/2$ ). Debido a que el $dA$ se inclina, sólo proyecta $dA \,\cos\theta$ a la luz, así $I\,dA\,\cos\theta$ afecta. Si se completa absorbido, que es $dp = {I \over c}\,dA\,\cos\theta$ .

Pero si se refleja desde allí, se refleja sólo con el reflejo de la superficie y en su mayor parte va hacia adelante. Si usted hace la trigonometría se encuentra que en lugar del aumento por un factor de 2 visto anteriormente, una superficie reflectante aquí proporciona transferencia de momento reducido por un factor de $1 - \cos{2 \theta}$ . En el limbo, eso es cero.

Diferentes formas tendrán diferentes distribuciones de inclinaciones superficiales: un disco plano perpendicular se parece más al caso del polo (más fuerza si es reflectante), una aguja larga y delgada o un cono como el caso del limbo (más fuerza si es absorbente). En el caso de una esfera, la distribución de la superficie es la adecuada para que ambas se disimulen cuando se promedian sobre la superficie.

Answer 4

Aunque esto no responde directamente a la pregunta, me gustaría añadir que la fuerza rigurosa ejercida por un rayo de luz sobre una esfera debe calcularse resolviendo las ecuaciones de Maxwell. Esta solución se denomina Teoría de Lorenz-Mie y el software correspondiente aquí . En la solución rigurosa, la fuerza es función del tamaño de la esfera, de la permitividad y de la forma del haz incidente, lo que puede aprovecharse, por ejemplo, en pinzas ópticas.

EDITAR:

Aquí es una referencia actual sobre el cálculo de fuerzas ópticas en partículas esféricas.