Cómo hallar el límite de una función algebraica

Question

La cuestión es encontrar este límite: $$\lim_{x\to\infty}\frac{2x^\frac{5}{3}- x ^\frac{1}{3}+7}{x^\frac{8}{5} +3x + \sqrt{x}}$$ Necesito alguna pista que me ayude ya que lo he intentado mucho y no he podido resolverlo.

Answer 1

Pista: Dividir numerador y denominador por $x^{\alpha}$ donde $$\alpha = \max \{\frac{5}{3}, \frac{1}{3},\frac{5}{8}, 1, \frac{1}{2}\}$$

y luego tomar el límite

Answer 2

En $x$ tiende a infinito, el término dominante del polinomio es el de mayor potencia. Por lo tanto $$\lim_{x\to\infty}\frac{2x^\frac{5}{3}- x ^\frac{1}{3}+7}{x^\frac{8}{5} +3x + \sqrt{x}}=\lim_{x\to\infty}\frac{2x^\frac53}{x^\frac85}\to\infty$$

Answer 3

Desde $\frac{5}{3}\gt\frac{8}{5}$ entonces el término de mayor grado está en el numerador. Por lo tanto su límite tenderá hacia $\infty$ .

Answer 4

$\lim_{x\to\infty}\frac{2x^\frac{5}{3}- x ^\frac{1}{3}+7}{x^\frac{8}{5} +3x + \sqrt{x}}=\lim_{x\to\infty}\frac{2x^\frac53}{x^\frac85}\to\infty$ . Si quieres hacerlo en más pasos divide el numerador y el denomerador por $x^{\frac{5}{3}}$ después de esto y tomando el límite se demostrará que la ecuación anterior es cierta.