Mi libro de texto sobre análisis funcional dice lo siguiente (El libro está escrito en japonés, ISBN: 978-4-946552-18-2)
Sea $\{X_n\}$ sea una secuencia de espacios localmente convexos sobre $K (= \mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ ).
Supongamos que $X_n$ es un espacio subvectorial de $X_{n+1}$ y la topología de $X_n$ es idéntica a la topología relativa de $X_{n+1}$ para todos $n \in \mathbb{N}$ .
Entonces $\displaystyle X := \bigcup_{n \in \mathbb{N}}X_n$ es un espacio vectorial por
adición $f_{a}$ : $X \times X \to X$
producto escalar $f_{s}$ : $K \times X \to X$ ,
donde para cualquier $x, y \in X$ existe $n_0 \in \mathbb{N}$ s.t. $x, y \in X_{n_0}$ definimos $f_a(x, y) :=$ "la adición de $x$ y $y$ en $X_{n_0}$ " (bien definido), y $f_s$ también se define del mismo modo.
Además, $X$ es un espacio localmente convexo si equipamos $X$ con la topología generada por la siguiente base de vecindades de $x_0 \in X$ : \begin{equation} x_0 + \{U \subset X \mid \textrm{$U$ is absolutely convex,} \\ \textrm{ and $U \cap X_n$ is a neighborhood of the origin of $X_n$ for all $n \in \mathbb{N}$}\} \end{equation}
No sé por qué $X$ es un espacio localmente convexo.
Mostrar $X$ es un espacio localmente convexo, tenemos que demostrar la continuidad de $f_a$ y $f_s$ , pero no puedo hacerlo. ¿Alguien podría ayudarme? Gracias de antemano.
Definición de un término:
$U \subset X$ es absolutamente convexa $\iff$ Para $\lambda \in K$ satisfaciendo $|\lambda| \leq 1$ , $\lambda U \subset U$ y para $x, y \in U$ y $t \in [0, 1]$ , $tx + (1-t)y \in U$
