Sobre el reconocimiento de la igualdad frente a la biyección de hom-conjuntos (en una categoría localmente pequeña).

Question

Estoy un poco confundido sobre el uso del símbolo de biyección contra el símbolo de igualdad cuando se trata de hom-sets. Pondré un ejemplo. Supongamos que se quiere demostrar que todo functor $F:\mathcal{C}\to\mathcal{E}$ factores como $F^*\circ F_*$ donde los functores $F_*:\mathcal{C}\to\mathcal{D}$ y $F^*:\mathcal{D}\to\mathcal{E}$ satisfacer $F_*$ biyectiva sobre objetos y $F^*$ completa y fiel (para alguna categoría $\mathcal{D}$ ). Lo que se hace es definir los objetos de $\mathcal{D}$ como objetos de $\mathcal{C}$ y $\text{Hom}_{\mathcal{D}}(a,b)=\text{Hom}_\mathcal{E}(Fa,Fb)$ . A continuación, defina $F_*:\mathcal{C}\to\mathcal{D}$ por $F_*a=a$ , $F_*f=Ff$ y $F^*:\mathcal{D}\to \mathcal{E}$ por $F^*a=Fa$ , $F^*f=f$ . Para demostrar que $F^*$ es plena y fiel, basta con demostrar, por la definición de "plena y fiel", que $$\text{Hom}_{\mathcal{E}}(F^*a,F^*b)\cong \text{Hom}_{\mathcal{D}}(a,b)$$ Mi pregunta es, en la siguiente secuencia de "relaciones" (palabra utilizada aquí en el contexto no matemático) entre los hom-conjuntos ("relaciones" simbolizadas por un cuadrado), ¿qué cuadrados son igualdades y cuáles biyecciones? $$\text{Hom}_{\mathcal{E}}(F^*a,F^*b)\; \square \;\text{Hom}_{\mathcal{E}}(Fa,Fb)\;\square\;\text{Hom}_{\mathcal{D}}(a,b)$$ (por supuesto, la primera "relación" proviene de la definición de $F^*$ y la segunda por la definición de la categoría $\mathcal{D}$ )

Answer 1

1. Por la construcción escrita arriba, hay igualdad en ambos lugares, exactamente por las definiciones de $F^*$ y $\mathcal D$ como tú dices.

2. Sin embargo, si quiere ser más preciso, y la definición actual de categoría que está utilizando supone que $\hom(A,B)$ es disjunta de todos los demás homsets, entonces hay que prestar más atención a la definición de $\mathcal D$ y definir, por ejemplo $$\hom_{\mathcal D}(a,b):=\left\{\,\langle a,\varphi,b\rangle\ \mid\ \varphi\in\hom_{\mathcal E}(Fa,Fb)\,\right\}\,.$$ Todo lo demás está bien, así que tendremos $F^*a=Fa\ $ (y $F^*(\langle a,f,b\rangle ):=Ff$ ), $\,$ de ahí $\hom_{\mathcal E}(F^*a,F^*b)\ =\ \hom_{\mathcal E}(Fa,Fb)$ pero el otro es sólo $$\hom_{\mathcal E}(Fa,Fb)\ \cong\ \hom_{\mathcal D}(a,b)\,.$$