Sea X una variable aleatoria geométrica con parámetro p calcula E[X^3]

Question

Sea X una variable aleatoria geométrica con parámetro $p$ calcula $E[X^3]$ .

¿Cómo lo enfocaría y cómo simplificaría la serie? ¿Puedo utilizar una función generadora de momentos?
Soy capaz de escribir una fórmula para la expectativa, creo que es la suma de 1 a n de $k^3p(1-p)^{k-1}$ Pido disculpas por la terrible notación, pero no estoy seguro de cómo proceder a partir de aquí.

Answer 1

Yo escribiría $k^3=k(k^2-1)+k$ entonces $$E[X^3]=p(1-p)\sum_{k=1}^\infty (k+1)k(k-1)\cdot (1-p)^{k-2} + p\sum_{k=1}^\infty k\cdot (1-p)^{k-1},$$ y utilizar el famoso $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty q^n= \frac 1{1-q}$ y sus derivados.