Dimensión de Krull de este anillo local

Question

Quiero saber cuál es la dimensión Krull de este anillo $\mathbb C[x,y]_p/(y^2-x^7,y^5-x^3)$ es, donde $p\neq (0,0)$ . Conozco su dimensión en el punto de origen, pero desconozco otros casos.

Answer 1

Desde $y^2-x^7,y^5-x^3$ son polinomios irreducibles (¿por qué?) forman una secuencia regular en $\mathbb C[x,y]$ y así están en $\mathbb C[x,y]_{\mathfrak m}$ para cualquier ideal maximal que los contenga. Entonces la dimensión de $\mathbb C[x,y]_{\mathfrak m}/(y^2-x^7,y^5-x^3)$ es $\dim\mathbb C[x,y]_{\mathfrak m}-2$ Eso es, $0$ .

Si $\mathfrak m$ no contiene uno o ambos polinomios $y^2-x^7,y^5-x^3$ entonces el anillo cociente es $0$ .