¿Dimensión del espacio nulo de un mapa lineal?

Question

Supongamos que V es el espacio vectorial real de las funciones de valor real con derivada. Cuál es la dimensión del espacio nulo del mapa lineal

$$Tf = x\frac{df}{dx} - 4f\;\;?$$

La base que encontré para el espacio nulo es $\{x^4\}$ que da dimensión 1, pero la pista para el problema era que la dimensión no es 1. ¿Por qué?

Answer 1

Puede resolver la ecuación $x{dy\over dx}=4y$ utilizando la separación de variables: $$\tag{1} {1\over y}\,dy={4\over x}\,dx. $$ Queremos evitar la división por cero; así que, al resolver $(1)$ consideramos los casos en los que $x<0$ y $x>0$ . Integración de $(1)$ muestra que para $k$ una constante, $y=k x^4$ es una solución tanto para el dominio $x>0$ y el dominio $x<0$ .

Se puede comprobar entonces que las soluciones de $(1)$ en $\Bbb R$ tienen la forma $$\tag{2} f(x)=\cases{cx^4,&$ x\ge0 $\cr d x^4,&$ x\le 0 $ } $$ donde $c$ y $d$ son constantes (en particular, se puede (y se debe) demostrar tal $f$ es diferenciable en $0$ con $f'(0)=0$ ).

Tenga en cuenta que $f$ es una combinación lineal de las funciones independientes obtenida tomando $(c=1, d=0)$ y $(c=0,d=1)$ en $(2)$ .

Answer 2

Tenemos una ecuación diferencial lineal homogénea simple de orden $\,1\,$ resolver

$$Tf=0\Longrightarrow x\frac{df}{dx}=4f\Longrightarrow \int\frac{df}{f}=4\int\frac{dx}{x}\Longrightarrow$$

$$\log|f|=4\log|x|+C\Longrightarrow f=kx^4\,\,,\,k=\,\text{a constant}$$

y sí: su respuesta es correcta.

¿De quién era esa indirecta? $\,\dim\ker T\neq 1\,$ ?