Distribución del producto de productos internos con un vector normal aleatorio y dos vectores fijos

Question

Sea $X \sim\mathcal{N}(0, I_n)$ sea un vector aleatorio gaussiano. Supongamos que tenemos dos vectores fijos $a,b\in\mathbb{R}^{n}$ . Sabemos que \begin{equation} \langle X, a \rangle \sim \mathcal{N}(0, \|a\|_2^2), \quad \langle X, b \rangle \sim \mathcal{N}(0, \|b\|_2^2), \end{equation} y \begin{equation} \mathbb{E}\left[\langle X, a \rangle\, \langle X, b \rangle \right] = \langle a, b\rangle. \end{equation} Me pregunto qué más podríamos decir sobre la distribución de la variable aleatoria $\langle X, a \rangle\, \langle X, b \rangle$ . ¿En qué condiciones $\langle X, a \rangle$ y $\langle X, b \rangle$ ¿independiente? Suponiendo que sea sólo cuando $a$ y $b$ ¿son ortogonales?

Answer 1

Dado que estas dos variables aleatorias son combinaciones lineales de los componentes de un vector aleatorio gaussiano multivariante, son independientes si no están correlacionadas. Y \begin{align} & \operatorname{cov}(\langle X,a\rangle, \langle X,b\rangle) \\[8pt] = {} & \operatorname{cov}(a^\top X, b^\top X) \\[8pt] = {} & a^\top \operatorname{cov}(X,X) b \\[8pt] = {} & a^\top I_n b \\[8pt] = {} & 0 \text{ if, but only if, } a,b \text{ are orthogonal.} \end{align}