Hechos relevantes
Propuesta $1$ : Supongamos que $G$ es un grupo con subgrupos $H,K < G$ tal que $H \lhd G$ y $H \cap K = \{e\}$ . Luego el mapa: $$\phi: H \rtimes_c K \to HK\ \text{defined by}\ \phi(h,k) = hk$$ es un isomorfismo. Donde $c: K \to Aut(H)$ es la conjugación en $G$ .
Propuesta $2$ : Para cualquier homomorfismo de grupo $\phi: G \to H$ , $\text{Ker}(\phi) \lhd G$ .
Corolario $1$ : Si $\sigma \in S_n$ es un $k$ -ciclo entonces $\sigma$ es incluso si $k$ es impar y viceversa.
Para este problema, lo planteé siguiendo la Proposición $1$ y tomando $H = A_n$ (donde $A_n$ es el grupo alterno de orden $n$ que es un subgrupo de $S_n$ que contiene todas las permutaciones pares) e intentar encontrar un subgrupo $K < S_n$ tal que $K \cong \mathbb{Z}_2$ . Para ello:
Mi conjetura es tomar $K$ sea uno de los subgrupos cíclicos generados por una transposición. Tomemos $K = \langle (12) \rangle = \{(1),(12)\}$ . Entonces podemos ver inmediatamente que puesto que $A_n$ consiste sólo en permutaciones pares y $\langle (12) \rangle = \{(1),(12)\}$ donde $(12)$ es una permutación impar por Corolario $1$ que $A_n \cap \langle (12) \rangle = \{(1)\}$ . Además $A_n$ es el núcleo del homomorfismo de signo $\epsilon: S_n \to C_2 = \{ \pm 1\}$ y por tanto por la proposición $2$ , $A_n \lhd S_n$ . Ahora queremos demostrar que $\langle (12) \rangle \cong \mathbb{Z}_2$ . Para ello tenemos el mapeo $\lambda: \langle (12) \rangle \to \mathbb{Z}_2$ que identifica $$\lambda((1)) = [0]$$ $$\lambda((12)) = [1]$$ Es evidente que se trata de una biyección, ya que podemos construir el mapeo inverso $\lambda^{-1}: \mathbb{Z}_2 \to \langle (12) \rangle$ identificando: $$\lambda^{-1}([0]) = (1)$$ $$\lambda^{-1}([1]) = (12)$$ Se trata también de un homomorfismo, ya que para $k,k' \in \langle (12) \rangle$ y $[z],[z'] \in \mathbb{Z}_2$ tenemos $$\phi(kk') = [z + z'] = [z] + [z'] = \phi(k)\phi(k')$$ Así pues, por la proposición $1$ podemos ver que $A_n \rtimes \mathbb{Z}_2 \cong A_n\mathbb{Z}_2$ . Ahora sólo queda demostrar que $A_n\mathbb{Z}_2 = S_n$
Hasta este punto me siento seguro de mis pruebas, pero me gustaría que me confirmaran que estoy siguiendo la línea de pensamiento correcta y que mis argumentos son sólidos. Además, ¿es mi prueba de $\lambda$ como un isomorfismo correcto? En particular, ¿puedo simplemente construir los mapeos ya que estamos tratando con $2$ ¿grupos finitos? Entonces, ¿declarar el mapeo inverso de la manera que yo lo he hecho?
También agradecería cualquier ayuda para demostrar que $A_n\mathbb{Z}_2 = S_n$ . Mi conjetura sería mostrar que desde $[0]$ es isomorfo a $(1)$ entonces para cualquier $a \in A_n$ el producto $a[0] \in A_n\mathbb{Z}_n$ puede evaluarse como $a(1) = a$ . Así $A_n(1) = A_n$ y así $A_n\mathbb{Z}_2$ consiste en todas las permutaciones pares y la identidad. Entonces esperaba demostrar que $A_n[1] \in A_n\mathbb{Z}_2$ daría todas las permutaciones de impar. Para ello dije supongamos $a \in A_n$ es cualquier $k$ -ciclo donde $k = 2q +1 (q \in \mathbb{Z})$ es impar. Entonces desde $(12)$ es un $2$ -e isomorfo a $[1]$ el producto $a[1] \in A_n\mathbb{Z}_2$ puede evaluarse como $a(12)$ que es un $k+2$ -pero aún así se obtiene un número impar y, por tanto, una permutación par.
