Poliominó que puede embaldosarse a sí mismo

Question

Buscar todos los poliominós $P$ de forma que podamos embaldosar $nP$ con $n^2$ copias de $P$ para todos $n\in \mathbb{N}$ . ( $nP$ es un polinomio similar a $P$ con factor de escala $n$ )
Conjeturo que sólo hay $4$ tipos de tal polinomino:
-El primer tipo trivial es rectángulo con longitud lateral entera.
-El segundo tipo se crea mediante $3$ rectángulos de lado entero como sigue:

Los dos últimos tipos son poliominós similares a uno de los dos poliominós siguientes:

¿Existe algún poliominó que no esté en el $4$ tipos anteriores y satisface esa propiedad? ¿Y si sustituimos poliomino por poliamante, poliabolo, policubo,...? Y como sugiere Timothy, ¿qué pasa si permitimos que todos, pero finitamente muchos $n$ ?
Aquí hay algunos enlaces relacionados con este problema, pero ninguno intenta resolverlo:
- Más poliominós reptiles
- La misma pregunta pero con poligonales
Creo que en el caso de un poliominó demasiado complejo, si se combinan copias del mismo se formará un poliominó más complejo o un poliominó demasiado simple, por lo que no se puede formar una baldosa. Así que supongo que necesitamos algunos invariantes que miden la complejidad de polyomino. Y $n=2$ puede ser el caso más importante.