Después de escribir esta respuesta, me he dado cuenta de que hay un par de explicaciones alternativas que puede ser interesante mencionar, así que también las añado.
Explicación 1
Lo que convierte algo en un agujero negro no es exactamente cuánta masa tiene, sino también lo compactado que está. En principio, cualquier cantidad de masa puede formar un agujero negro, siempre que se compacte lo suficiente.
El tamaño necesario para que cierta cantidad de masa forme un agujero negro se conoce como radio de Schwarzschild. A grandes rasgos , si eliges una cantidad de masa y consigues comprimirla por debajo del radio de Schwarzschild, tendrás un agujero negro. Viene dado por una sencilla expresión. A saber, $$R_S = \frac{2 G M}{c^2},$$ donde $M$ es la masa, $c$ es la velocidad de la luz, y $G$ es la constante gravitatoria de Newton (que en cierto modo mide la intensidad de la gravedad). Por ejemplo, para algo con la masa de la Tierra, el radio de Schwarzschild es aproximadamente $0.88$ cm, mientras que para el Sol es de $2.9$ km (debo admitir que no he vuelto a comprobar el cálculo, me fío de Google para estas cifras, pero son más o menos lo que recuerdo).
Por lo tanto, el agujero negro sigue siendo un agujero negro mientras se evapora porque se encoge mientras pierde masa, y siempre se encoge lo suficiente como para que siempre tenga el tamaño correcto.
Explicación 2
La segunda forma de pensar es un poco menos familiar. Resulta que los agujeros negros no son realmente objetos, sino regiones del espaciotiempo. De hecho, esto es tan cierto que los agujeros negros son lo que llamamos soluciones de vacío: no hay materia en cualquier lugar en el espaciotiempo. Toda la masa del agujero negro está ahí debido a los efectos de la propia gravedad. Otra forma de pensar es que un agujero negro está tan colapsado que su masa se debe enteramente a la energía gravitatoria.
Es un poco más difícil entender este concepto, pero una vez que lo entiendes, el resto es más sencillo. El agujero negro permanece ahí porque no está "hecho" de nada. No hay una estrella justo debajo del horizonte de sucesos esperando a salir. No hay nada allí, sólo gravedad. A medida que pierde masa, la gravedad se debilita y se hace más pequeño, pero no hay nada detrás del horizonte que pueda salir.
Explicación 3
La tercera explicación podría ser un poco más sencilla que la segunda. Una vez que algo cae en un agujero negro, Eso es. . No puede salir. Nunca. Por la propia definición de lo que es un agujero negro. Por lo tanto, a medida que el agujero se encoge, no hay forma de que algo pueda salir del agujero para ser su "cuerpo". Eso violaría el significado mismo de lo que es un agujero negro.
Esta es una respuesta simplificada. Dado que el OP no tiene una educación formal en Física, es posible que haya pasado por alto algunos detalles y matices aquí, pero hice todo lo posible para mantener la respuesta lo más fiel posible.