Construcción de una prueba relativa a la continuidad y diferenciabilidad de una función de 2 variables

Question

La afirmación que intento demostrar es que:

Sea una función de dos variables $f(x,y)$ sea continua y diferenciable en cualquier punto de $\mathbb{R}^2$ . Entonces para cualquier a $\mathbb{R}$ ,

$\lim_{h\to 0} \frac 1h \int_a^{a+h} f(h,x) dx = f(0,a)$ .

En concreto, me gustaría saber cómo abordar la parte que ${h\to 0}$ incurre en la diferenciación y hace que la primera variable de $f$ para acercarse a cero al mismo tiempo.

¿Debo tratar una variable tras otra (es decir, $g(x) := f(h,x)$ ), o utilizar alguna otra estrategia?

Answer 1

Utiliza el teorema del valor medio para las integrales: Si $g\colon [c,d] \to \mathbb{R}$ es continua, entonces \begin{equation*} \int_c^d g(x) \; dx = (d-c)g(\zeta) \end{equation*} para algunos $\zeta \in [c,d]$ . En su problema, considere $g(x)=f(h,x)$ y $[c,d]=[a,a+h]$ para un determinado $h$ . No creo que la hipótesis de diferenciabilidad sobre $f$ es importante.

Answer 2

Tenemos $$ (1) \qquad \frac 1h \int_a^{a+h} f(h,x) dx - f(0,a) = \frac 1h \int_a^{a+h} (f(h,x) - f(0,a) )dx . $$ Utilizando la continuidad de $f(x,y) $ en $(0,a)$ tenemos que para cualquier $\varepsilon>0 $ pequeño existe $h_0>0$ tal que una vez $0<h<h_0$ entonces $$ | f(h,x) - f(0,a) | \leq \varepsilon \ \text{ for all } \ 0\leq h \leq h_0 , a\leq x\leq a+h. $$ Por lo tanto, para $h<h_0$ a partir de (1) obtenemos $$ \left| \qquad \frac 1h \int_a^{a+h} f(h,x) dx - f(0,a) \right| \leq \frac{1}{h} \int_a^{a+h} |f(h,x) - f(0,a) | dx \leq \varepsilon . $$ De ahí se deduce el resultado.

EDITAR : mi respuesta inicial utilizaba el teorema del valor intermedio de Lagrang, pero lo que necesitamos aquí es sólo la continuidad.