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Demostrar que en $C([0,1])$ , $||x||= \text{sup}_{t \in [0,1]}|tx(t)|$ las normas $||.||$ y $||.||_{\infty}$ no son equivalentes

En $C([0,1]),||.||)$ $with ||x||= \text{sup}_{t \in [0,1]}|tx(t)|$ demostrar que $||.||$ y $||.||_{\infty}$ no son normas equivalentes

Inténtalo:

En $0 \leq t \leq 1 $ $|tf(t)| \leq |f(t)|$ así que $||f(t)|| \leq ||f(t)||_{\infty}$

Ahora la pregunta es si existe un $c>0$ tal que $||f(t)||_{\infty} \leq c||f(t)||$

Tomamos una secuencia definida como sigue:

$$ f_n(t)= \begin{cases} \frac{1}{ t} && ,\frac{1}{n} \leq t \leq 1 \\ n &&, 0 \leq t \leq \frac{1}{n} \end{cases} $$

$||f_n||_{\infty}= \text{sup}_{t \in [0,1]} |f_n(t)|=n$ $||f_n||=\text{sup}_{t \in [0,1]} |t f_n(t)|=\text{max} \{\text{sup}_{0 \leq t \leq \frac{1}{n}} |t f_n(t)|,\text{sup}_{\frac{1}{n} \leq t \leq 1} |t f_n(t)| \}=\text{max} \{\text{sup}_{0 \leq t \leq \frac{1}{n}} nt,\text{sup}_{\frac{1}{n} \leq t \leq 1} \frac{1}{t}t \}= \text{max} \{1,1\}=1 $

Entonces $\frac{||f_n||_{\infty}}{||f_n||} \to \infty$ cuando $n \to \infty$ . Así que las normas no son equivalentes

Mis preguntas son, además de saber si esto es correcto :

  1. En este enfoque no necesito que la secuencia sea Cauchy, ¿verdad?. para demostrar que no existe tal c , ¿por qué consideramos una secuencia en primer lugar? ¿cuál es la idea?
  2. ¿Por qué toman el límite de $\frac{||f_n||_{\infty}}{||f_n||} \to \infty$ al final, ¿como demuestra esto que no existe ninguna constante c que haga equivalentes las normas?

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dmay Puntos 415

Lo que has hecho está bien y demuestra de hecho que no hay constante $c$ para que siempre tengamos $$\|f\|_\infty\leqslant c\|f\|.\tag1$$ Tenga en cuenta que $(1)$ es equivalente a $\frac{\|f\|_\infty}{\|f\|}\leqslant c$ . Por lo tanto, demostrar que $(1)$ no es válida para algunos $c$ y para cada $f\in C\bigl([0,1]\bigr)$ equivale a afirmar que para cada $c$ hay algo de $f_c\in C\bigl([0,1]\bigr)$ tal que $\frac{\|f_c\|_\infty}{\|f_c\|}>c$ . Y, para no demostrarlo, basta con demostrar que, para cada $n\in\Bbb N$ hay algo de $f_n\in C\bigl([0,1]\bigr)$ tal que $\frac{\|f_n\|_\infty}{\|f_n\|}>c$ . Por lo tanto, es natural tomar una secuencia $(f_n)_{n\in\Bbb N}$ tal que $\lim_{n\to\infty}\frac{\|f_n\|_\infty}{\|f_n\|}=\infty$ .

Y no, no tiene que ser una secuencia de Cauchy.

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