En $C([0,1]),||.||)$ $with ||x||= \text{sup}_{t \in [0,1]}|tx(t)|$ demostrar que $||.||$ y $||.||_{\infty}$ no son normas equivalentes
Inténtalo:
En $0 \leq t \leq 1 $ $|tf(t)| \leq |f(t)|$ así que $||f(t)|| \leq ||f(t)||_{\infty}$
Ahora la pregunta es si existe un $c>0$ tal que $||f(t)||_{\infty} \leq c||f(t)||$
Tomamos una secuencia definida como sigue:
$$ f_n(t)= \begin{cases} \frac{1}{ t} && ,\frac{1}{n} \leq t \leq 1 \\ n &&, 0 \leq t \leq \frac{1}{n} \end{cases} $$
$||f_n||_{\infty}= \text{sup}_{t \in [0,1]} |f_n(t)|=n$ $||f_n||=\text{sup}_{t \in [0,1]} |t f_n(t)|=\text{max} \{\text{sup}_{0 \leq t \leq \frac{1}{n}} |t f_n(t)|,\text{sup}_{\frac{1}{n} \leq t \leq 1} |t f_n(t)| \}=\text{max} \{\text{sup}_{0 \leq t \leq \frac{1}{n}} nt,\text{sup}_{\frac{1}{n} \leq t \leq 1} \frac{1}{t}t \}= \text{max} \{1,1\}=1 $
Entonces $\frac{||f_n||_{\infty}}{||f_n||} \to \infty$ cuando $n \to \infty$ . Así que las normas no son equivalentes
Mis preguntas son, además de saber si esto es correcto :
- En este enfoque no necesito que la secuencia sea Cauchy, ¿verdad?. para demostrar que no existe tal c , ¿por qué consideramos una secuencia en primer lugar? ¿cuál es la idea?
- ¿Por qué toman el límite de $\frac{||f_n||_{\infty}}{||f_n||} \to \infty$ al final, ¿como demuestra esto que no existe ninguna constante c que haga equivalentes las normas?