Ecuación con fracciones continuas.

Question

No estoy seguro de si mi solución es correcta, pero me pregunto sobre la ecuación: $$ x = 1 + \frac 1{x + \frac 1{x+ \frac 1{x+\frac 1{x+ \frac 1{x + \ldots}}}}} $$ Reescribo esta ecuación en forma: $$ x = 1+\frac 1{x} $$ Y esta es la proporción áurea. Pero estoy confundido acerca de la transición de la fracción continua a esta. No estoy seguro de que cuando reemplazo la primera $x$ en el denominador soy capaz de sumar fracciones continuas. Y tal vez debería obtener algo como $$ x = 1 + \frac 1{1 + \frac 2{x+ \frac 1{x+\frac 1{x+ \frac 1{x + \ldots}}}}} $$

Answer 1

Su "reescritura" es incorrecta; $[x;x,x,x,\ldots]$ (para utilizar el notación estándar en el que $[a;b,c,\ldots] = a+\dfrac{1}{b+\frac{1}{c+\ldots}}$ ) no es lo mismo que $[1;x,x,x,\ldots]$ por lo que no se puede decir simplemente que $x=1+\frac1x$ . En cambio, como $[x;x,x,\ldots]$ $= [1;x,x,\ldots]+x-1$ la ecuación que se obtiene es $x=1+\frac1{x+(x-1)}$ $=1+\frac1{2x-1}$ . ¿Puedes seguir desde aquí?

ETA : Debo señalar que incluso después de resolver la ecuación para $x$ de la fracción, el problema no está resuelto del todo; como la ecuación es impropia, no tenemos la garantía inmediata de que el resultado sea una fracción. garantía inmediata de que $x$ que resuelve la ecuación colapsada resuelve la original. Afortunadamente, en este caso podemos mirar el valor de $x$ obtenemos y vemos que la fracción continua resultante es convergente.

Answer 2

Ecuación Yout $x=1+\frac{1}{x}$ está mal.

Si $y=x-1$ entonces $$ y=\cfrac{1}{(y+1)+\cfrac{1}{(y+1)+\cfrac{1}{(y+1)+\cfrac{1}{\ddots}}}}$$

O $y=\frac{1}{(y+1)+y}.$

Usted obtiene $2y^2+y-1=0$ o $y=\frac{-1\pm 3}{4}=-1,\frac{1}{2}.$

Así que $x=0,\frac{3}{2}.$ Pero $x=0$ es absurdo, así que $x=3/2.$