¿Por qué $\mathbb{R}$ no es un subespacio lineal de $\mathbb{R}^3$ ?

Question

Pensé que $\mathbb{R}$ sería cualquier línea unidimensional en $\mathbb{R}^3$ y que mientras multipliques o sumes dos vectores en esa línea juntos, seguirás estando en $\mathbb{R}$ .

Answer 1

Todo subespacio unidimensional de $\mathbb R^3$ es isomorfo a $\mathbb R$ como $\mathbb R$ espacios vectoriales. Para mucha gente, el isomorfismo es suficiente para llamar a esa copia " $\mathbb R$ ", pero hay que recordar que no es especial y que hay muchas otras copias de este tipo.

Alguien podría objetar que $\mathbb R$ es un subespacio si quieren decir que ni siquiera es un subconjunto : $\mathbb R^3$ está formado por triples de números reales, mientras que $\mathbb R$ son "1-tuplas" de números reales.