Ángulo entre dos líneas en 3D cuando se conocen otros tres ángulos.

Question

Me encontré con esto mientras resolvía una pregunta relacionada con la óptica. Por favor, eche un vistazo al enlace de la imagen.

Imagen

Así, en el diagrama, las rectas AO y BO se encuentran en el plano XY. Sé que $\ \angle AOX=\angle BOX=\theta$ , $\angle POX=\phi$ y el ángulo que forma el plano que contiene las rectas PO y XO con el plano XY es $\psi$ . Quiero encontrar $\angle POA$ y $\angle POB$ en función de $\theta, \phi\ \text{and}\ \psi$ . En el problema real que estoy tratando de resolver, $\theta$ es constante pero $\phi$ y $\psi$ son variables. Por favor, ayúdenme.

Gracias.

Answer 1

Es fácil ver que los vectores unitarios a lo largo de $OA$ y $OB$ son $(\cos\theta, -\sin\theta,0)$ y $(\cos\theta, \sin\theta,0)$ respectivamente. Sea $\hat{OP}=(x,y,z)$ . Puesto que hace un ángulo $\phi$ con el $x$ -Eje, $$\cos \phi = (x,y,z)\cdot(1,0,0)=x$$

Ahora, el vector normal al plano que contiene a $OX,OP$ es $$\vec{n_1}=\hat{OX}\times \hat{OP} =(0,-z,y)$$ Y lo normal al $XY$ plano es $\vec{n_2}=(0,0,1)$ . El ángulo entre dos planos es igual al ángulo entre sus normales, por lo que $$\cos\psi = \frac{\vec{n_1}\cdot \vec{n_2}}{|\vec{n_1|}}=\frac{y}{\sqrt{y^2+z^2}} =\frac{y}{\sqrt{1-x^2}}\\ \implies y=\sin\phi\cos\psi, z=\sin\phi\sin\psi$$

De aquí obtenemos $$\cos\angle POA=\hat{OP}\cdot\hat{OA} =\cos\phi\cos\theta-\sin\theta\sin\phi\cos\psi \\\cos\angle POB=\hat{OP}\cdot\hat{OB}=\cos\phi\cos\theta+\sin\theta\sin\phi\cos\psi$$