Por qué números irracionales en intervalo $[0,1]$ no puede escribirse como unión contable de conjuntos cerrados de $\mathbb R$ ?
Mi idea es la siguiente:
Déjalo: $$S=\mathbb Q^c\cap[0,1]=\cup_{i=1}^{\infty}[a_i,b_i]$$ Podemos suponer que cada $[a_i,b_i]$ es disjunta de otras y $[a_i,b_i]\subset[0,1]$ . Ahora define: $$X=\{a_i,b_i\,;i\in \mathbb N\}$$ Entonces $X$ está cerca en $S$ . porque es complemento en $S$ es la unión de conjuntos abiertos. Entonces, $X$ está completo. $X$ es perfecto. Deja que $\epsilon \gt0$ ser dado. Entonces: $(a_i-\epsilon,a_i)$ contienen una de $b_j$ . Del mismo modo, cada $b_i$ es un punto límite de $X$ . Pero sabemos que todo espacio métrico completo y perfecto es incontable. Así que $X$ es incontable. contradecir.
