Espacios de bucle y colímites filtrados

Question

Ahora he leído muchas cosas que me llevan a creer que el functor de espacio de bucles preserva colímitos filtrados (y/o dirigidos). ¿Es esto cierto? ¿Puede alguien dar una prueba (esbozo de prueba) o indicarme dónde encontrarla?

Veo por qué esto es cierto para un sistema dirigido de inclusiones (¿cerradas?), pero quiero saber explícitamente la respuesta para mapas arbitrarios.

También sé que esto es cierto en un "sentido homotópico" (lo que significa que $\pi_1$ conmuta con colímitos filtrados y algunas otras cosas sobre colímitos de homotopía que aún no entiendo del todo), pero antes de seguir por ese camino, quiero estar seguro de la afirmación a nivel espacial.

Answer 1

Creo que lo he entendido; gracias a esta discusión: http://golem.ph.utexas.edu/category/2009/05/journal_club_geometric_infinit_3.html#c023790

La cuestión se reduce a si el mapa natural

$$\operatorname{colim}_i\Omega X_i \to \Omega \operatorname{colim}_i X_i$$

es un isomorfismo, es decir, un homeomorfismo para cualquier sistema filtrado/dirigido $\{X_i\}$ . Sin embargo, en este sentido estricto y en esta generalidad, ¡esto es falso!

Recuerda que -- como un conjunto -- $\Omega X = \hom_{\mathrm{Top_*}}(S^1, X)$ para cualquier espacio $X$ así que podemos generalizar un poco la situación y probar lo siguiente: Si para cada sistema dirigido $\{Y_i\}$ el mapa natural

$$h\colon \operatorname{colim}_i \hom_{\mathrm{Top}_*}(X,Y_i) \to \hom_{\mathrm{Top}_*}(X,\operatorname{colim}_i Y_i)$$

es una biyección, entonces $X$ ¡es discreto!

Para demostrarlo, veamos $U \subseteq X$ sea un subconjunto cualquiera. Queremos demostrar que esto es abierto. Para ello vamos a construir un sistema dirigido apropiado: Sea $Y_i := X \coprod \mathbb{N}$ equipado con la topología $\{U \coprod \{n\in\mathbb{N} | n \ge k\} | k \ge i\} \cup \{Y_i, \emptyset\}$ . Los mapas $Y_i \to Y_{i+1}$ vienen dadas por la identidad (setweise), que obviamente es continua.

Entonces $\operatorname{colim}_i Y_i = X \coprod \mathbb{N} =: Y$ con la topología indiscreta, ya que si $V \subset X \coprod \mathbb{N}$ está abierto, entonces ya está abierto en todos los $Y_i$ así que en realidad tiene que estar vacío.

Veamos ahora la inclusión $j\colon X \to Y$ . Desde $h$ es una biyección, obtenemos un mapa continuo $[j]:= h^{-1}(i) \in \operatorname{colim}_i \hom_{\mathrm{Top}_*}(X, Y_i)$ con representante $j\colon X \to Y_i$ para algunos $i$ . tal que el compuesto $X\stackrel{j}{\to} Y_i \to Y$ es $i$ .

Pero entonces $U = j^{-1}(U \coprod \{n \in \mathbb{N} | n \ge i\})$ ¡y esto está abierto!