Identidad de recurrencia de polinomios ciclotómicos

Question

Si p es primo, demuestre que $\Phi_{p}(x^{p^{k-1}})=\Phi_{p^{k}}(x)$ .

Tengo la solución, pero no entiendo cómo ha llegado a ella el autor. Entiendo la necesidad de utilizar el hecho de que p^k y n son coprimos si y sólo si p y n son coprimos, sin embargo el resto de los detalles son vagos para mí. Pido disculpas por mi formato si lo he estropeado. Gracias

http://people.maths.ox.ac.uk/earl/complex/0163.pdf - Solución prevista (agradecería que alguien la explicara)

Answer 1

El número de coprimos viene dado por el totiente de euler que dice que el número de coprimas es $\phi(p^n)=p^n-p^{n-1}$ siempre que $p$ es primo así que lo que me parece que hace la prueba es algo como

$\Phi_p(x)=\frac{x^p-1}{x-1}\Rightarrow \Phi_p(x^{p^{n-1}})=\frac{x^{p^n}-1}{x^{p^{n-1}}-1}$

$\Phi_{p^1}(x)=\prod_{k,\gcd(k,p^1)=1}(x-\omega_k)=\prod_{k=1}^{\phi(p)}(x-\omega_k)=\prod_{k=1}^{p-1}(x-\omega_k)=\frac{\prod_{k=1}^p(x-\omega_k)}{\prod_{k=1}^1(x-\omega_k)}=\frac{x^p-1}{x-1}=\Phi_p(x)$

$\Phi_{p^n}(x)=\prod_{k,\gcd(k,p^n)=1}(x-\omega_k)=\prod_{k=1}^{\phi(p^n)}(x-\omega_k)=\prod_{k=1}^{p^n-p^{n-1}}(x-\omega_k)=\frac{\prod_{k=1}^{p^n}(x-\omega_k)}{\prod_{k=1}^{p^{n-1}}(x-\omega_k)}=\frac{x^{p^n}-1}{x^{p^{n-1}}-1}=\Phi_p(x^{p^{n-1}})$

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De la exploración de este problema creo que la prueba va de esta manera para evitar probarlo como parece ser más comúnmente hecho, pero que es tal vez un poco más complicado, algo en la línea de

Tomar/probar la identidad

$\Phi_n(x)=\frac{x^n-1}{\prod_{d|n}\Phi_d(x)}$

Que para $n=p^n$ implica

$\Phi_{p^{n}}(x)=\frac{x^{p^{n}}-1}{\prod_{k=0}^{n-1}\Phi_{p^{k}}(x)}\quad (d|p^n\Rightarrow d=p^k,\ k<n)$

y luego proceder inductivamente

$\Phi_{p^{0}}(x)=x^{p^{0}}-1=x-1=\Phi_1(x)$

$\Phi_{p^1}(x)=\frac{x^{p^{1}}-1}{\prod_{k=0}^{0}\Phi_{p^{k}}(x)}=\frac{x^{p^{1}}-1}{\Phi_{p^{0}}(x)}=\frac{x^{p^{1}}-1}{x-1}=\Phi_{p}(x^{p^0})$

$\Phi_{p^2}(x)=\frac{x^{p^{2}}-1}{\prod_{k=0}^{1}\Phi_{p^{k}}(x)}=\frac{x^{p^{2}}-1}{\Phi_{p^{0}}(x)\Phi_{p^{1}}(x)}=\frac{x^{p^{2}}-1}{x^{p^{1}}-1}=\Phi_{p}(x^{p^1})$

etc.