Demostrar que un conjunto de puntos de continuidad sólo tiene elementos irracionales.

Question

Parte a)

Demostrar que para cualquier función $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ el conjunto $C_f$ de puntos de continuidad de $f$

$$ C_f = \left\{ a \in \mathbb{R}: \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 \forall x,y \left( |x-a| < \delta \text{ and } |y-a|< \delta \right) \Rightarrow |f(x) - f(y)| < \epsilon \right\} $$ es $G_\delta$

Parte b)

Sea $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definirse del siguiente modo: $$ f(x) = \left\{ \begin{array} 00 & \text{if }x \in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\\ \frac{1}{q} & \text{if } $x=\frac{p}{q}, p \in \mathbb{Z}, q\in \mathbb{N} \text{ and } p,q\text{ are coprime}. \end{array} \Muy bien. $$ Demuestra que $C_f = \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ .

Utilice la parte a) para demostrar que es imposible definir una función $g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ con $C_g = \mathbb{Q}$

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Intentar solución para a)

Sea $$ C_{f_1} = \left\{ a \in \mathbb{R}: \forall \epsilon > 0, \forall x,y \left( |x-a| < 1 \text{ and } |y-a|< 1 \right) \Rightarrow |f(x) - f(y)| < \epsilon \right\} $$ y $$ C_{f_k} = \left\{ a \in \mathbb{R}: \forall \epsilon > 0, \forall x,y \left( |x-a| < \frac{1}{k} \text{ and } |y-a|< \frac{1}{k} \right) \Rightarrow |f(x) - f(y)| < \epsilon \right\} $$ Tenemos $C_{f_1} \supseteq C_{f_2} \supseteq \dots \supseteq C_{f_k} \supseteq C_{f_{k+1}} \supseteq \dots $ y $$ C_f = \bigcap_{k=1}^\infty C_{f_k} $$ así que $C_f$ es $G_\delta$

Agradecería cualquier ayuda sobre las preguntas a) o b).

Gracias, señor.

Answer 1

Para a), tome $\epsilon = \frac{1}{n}$ y definir $C_f^n=\{ a \in \mathbb{R} \mid \exists \delta>0, a - \delta < x, y < a + \delta \implies |f(x)-f(y)|< \frac{1}{n}\}$ . Tenemos que $C_f^n$ está abierto porque dado $a \in C_f^n$ y $a - \delta < b < a + \delta$ podemos tomar $\delta_1=\frac{1}{2}\min(a + \delta - b, b - a + \delta)$ y concluir que $b - \delta_1 < x, y < b + \delta_1 \implies |f(x)-f(y)|< \frac{1}{n}$ es decir, $b \in C_f^n$ .

Tenga en cuenta que $\cap_{n \ge 1} C_f^n = C_f$ . Esto concluye a).

La última parte de b) se deduce del Teorema de la Categoría de Baire.