Curioso hábito, ¿llegaré tarde al trabajo en n-días? [Probabilidad]

Question

He aquí un interesante problema de probabilidad :

Todos los días puedo ir al trabajo con un coche o con el submarino. Si cojo cojo el coche, llegaré tarde la mitad de las veces, mientras que con el metro sólo una cuarta parte (1/4 de las veces). Si hoy llego tarde, mañana cambiaré de medio de transporte. Si un día llego tarde en coche, al día siguiente utilizaré el metro. al día siguiente utilizaré el metro.

Empiezo este hábito mañana, y mañana tendré la oportunidad $p$ a usar el coche.

1. ¿Cuál es la probabilidad de que utilice el coche el n-ésimo día?

2. ¿Cuál es la probabilidad de que llegue tarde el n-ésimo día?

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Aquí viene mi respuesta. ¿Puede decirme si hay algún error?

He configurado el evento $C_n$ como coger el coche el n-ésimo día, $S_n$ para el submarino. $R$ es el suceso "llegar tarde". El acontecimiento $R^c$ es lo contrario, llegar a tiempo.

$$P(C_n) = P( S_{n-1} \cap R ) + P( C_{n-1} \cap R^c )$$ por hipótesis.

$$\begin{split} P(C_n) = & P( S_{n-1} ) P ( R \vert S_{n-1} ) + P( C_{n-1} ) P ( R^c \vert C_{n-1} ) \\ =& \frac 1 4 ( 1 - P( C_{n-1} ) ) + \frac 1 2 P( C_{n-1} ) \\ =& \frac 1 4 ( P( C_{n-1} ) + 1 ) \end{split}$$ que porque puedo tomar el coche o el metro, por lo que los dos eventos $S_n, C_n$ están creando una partición para cada día

(¿Podría aclarar esta afirmación? No sé cómo justificar con precisión este punto ; Esto es para esta igualdad : $1 - P( C_{n-1} ) = P( S_{n-1} )$ ).

Llegados a este punto, reconocemos una secuencia aritmética / geométrica.

Creo que obtenemos esta expresión general : $$P(C_n) = (\frac 1 4)^n ( p- \frac 1 3 ) + \frac 1 3$$

Así que esta sería la respuesta al primer punto, y para el segundo, simplemente tenemos que utilizar la fórmula de la probabilidad total :

$$P( R) = P( S_{n} ) \frac 1 4 + P( C_{n} ) \frac 1 2 = \frac 1 4 ( 1 + P( C_n ))$$

Answer 1

Su argumento es sólido. La igualdad que te preocupa se encuentra porque tienes que coger o el coche o el metro, así que ambos lados son la probabilidad de que cojas el coche. No he comprobado tu solución a la recurrencia, pero parece buena. Debería converger a $\frac 13$ y así es.