Divisores cero en anillos matriciales

Question

Sea $R$ sea un anillo conmutativo, $P \in M_n(R)$ y $\det(P)$ es un divisor nulo de $R$ . Debe $P$ sea un divisor nulo de $M_n(R)$ ?

Aquí anillos significa anillos unitales, $M_n(R)$ denota el anillo de matrices cuadradas sobre $R$ de orden $n$ y se entiende que el divisor cero es distinto de cero. La dificultad radica en que la matriz adjunta de $P$ puede ser $0$ .

Answer 1

La respuesta es sí. Primero observa que basta con encontrar un vector $x\neq 0$ con $Px=0$ porque entonces la matriz cuadrada $Q$ formado tomando todas sus columnas como $x$ satisfará $PQ=0$ con $Q\neq 0$ . La existencia de tal $x$ está garantizada precisamente bajo la hipótesis de su pregunta: Véase la respuesta en condición necesaria y suficiente para el núcleo trivial de una matriz sobre un anillo conmutativo :

Un sistema de ecuaciones lineales Ax=0 con una matriz cuadrada n×n A sobre un anillo conmutativo R tiene una solución no trivial si y sólo si su determinante (su único menor de dimensión n) es aniquilado por algún elemento no nulo de R, es decir, si su determinante es un divisor nulo o cero. o cero.

Answer 2

Por el teorema de McCoy, el endomorfismo asociado a $P$ es inyectiva si y sólo si $\det P$ es un divisor distinto de cero. Por tanto, si $\det P$ es un divisor cero, $K=\ker P\neq\{0\}$ . Consideremos la matriz $A$ de la proyección sobre $K$ . Entonces $PA=0$ .

Answer 3

Pista: Supongamos que $a\det P=0$ con $a\ne 0$ . Sea $Q=\operatorname{diag}(a,1,\ldots,1)$ . Entonces $\det(PQ)=0$ .