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Divisores cero en anillos matriciales

Sea R sea un anillo conmutativo, PMn(R) y det es un divisor nulo de R . Debe P sea un divisor nulo de M_n(R) ?

Aquí anillos significa anillos unitales, M_n(R) denota el anillo de matrices cuadradas sobre R de orden n y se entiende que el divisor cero es distinto de cero. La dificultad radica en que la matriz adjunta de P puede ser 0 .

5voto

Brent Kerby Puntos 3669

La respuesta es sí. Primero observa que basta con encontrar un vector x\neq 0 con Px=0 porque entonces la matriz cuadrada Q formado tomando todas sus columnas como x satisfará PQ=0 con Q\neq 0 . La existencia de tal x está garantizada precisamente bajo la hipótesis de su pregunta: Véase la respuesta en condición necesaria y suficiente para el núcleo trivial de una matriz sobre un anillo conmutativo :

Un sistema de ecuaciones lineales Ax=0 con una matriz cuadrada n×n A sobre un anillo conmutativo R tiene una solución no trivial si y sólo si su determinante (su único menor de dimensión n) es aniquilado por algún elemento no nulo de R, es decir, si su determinante es un divisor nulo o cero. o cero.

2voto

Bernard Puntos 34415

Por el teorema de McCoy, el endomorfismo asociado a P es inyectiva si y sólo si \det P es un divisor distinto de cero. Por tanto, si \det P es un divisor cero, K=\ker P\neq\{0\} . Consideremos la matriz A de la proyección sobre K . Entonces PA=0 .

0voto

Hagen von Eitzen Puntos 171160

Pista: Supongamos que a\det P=0 con a\ne 0 . Sea Q=\operatorname{diag}(a,1,\ldots,1) . Entonces \det(PQ)=0 .

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