Conversión de acciones de la ecuación de disociación química en fracciones

Question

Se me escapan algunas matemáticas básicas al intentar deducir una simple fórmula de constante de disociación.

Dado que $K_d=\frac{[A][B]}{[AB]}$ , $[A]+[AB]=[A_0]$ , $[B]+[AB]=[B_0]$ y $[B_0] \gg [A_0]$ Estoy tratando de encontrar $[A]/[A_0]$ para un determinado $[B]$ . Mi derivación sucia sigue:

$$ \begin{align} K_d &= \frac{[A][B]}{[AB]}=\frac{[A][B_0]}{[AB]}\\ \frac{K_d}{[B_0]} &= \frac{[A]}{[AB]}\\ \end{align}$$

Aquí parece que he perdido mis canicas de precalculo y vuelvo a un método más complicado y probablemente menos riguroso. Básicamente, calculo que los numeradores y denominadores de cada lado son proporcionales entre sí utilizando alguna constante arbitraria $k$ Así que utilizo esas proporciones para calcular la relación con el conjunto total de $[A]$

$$ \frac{K_d}{[B_0]} = \frac{[A]}{[AB]} \rightarrow [A] = k K_d, [AB] = k[B_0]\\ \frac{[A]}{[A_0]} = \frac{[A]}{[AB] + [A]} = \frac{kK_d}{k[B_0] + kK_d} = \frac{K_d}{[B_0]+K_d} $$

Esto parece demasiado complicado, como si me estuviera perdiendo un camino obvio.

Answer 1

A partir de la ecuación de equilibrio para $A$ , $[A]+[AB]=[A_0]$ , tienes $[AB]=[A_0]-[A]$ ; entonces, a partir de la ecuación de equilibrio para $B$ , $[B]+[AB]=[B_0]$ , tienes $[B]=[B_0]-[AB]=[B_0]-[A_0]+[A]$ por lo que la ecuación de equilibrio se escribe $$K_d=\frac{[A][B]}{[AB]}=\frac{[A]([B_0]-[A_0]+[A])}{[A_0]-[A]}$$ Ahora bien, como $[B_0] \gg [A_0]$ , $[B_0]-[A_0]+[A] \simeq [B_0]$ y luego $$K_d \simeq \frac{[A][B_0]}{[A_0]-[A]}$$ que debe resolverse en función de $[A]$ . Haciendo esto, llegarás a tu resultado $$ \frac{[A]}{[A_0]} \simeq \frac{K_d}{[B_0]+K_d}$$ Si no se tiene en cuenta la condición $[B_0] \gg [A_0]$ sólo tienes que resolver tres ecuaciones para tres incógnitas $[A],[B],[AB]$ que se reducen a una ecuación cuadrática.