Mostrar desigualdad (máx, mín)

Question

¿Cómo muestro esta desigualdad?

$$d(x,z) \leq \max(d(x,y), d(y,z))$$

cuando

$$\mu (x,y) = \min\{n\in\mathbb{N} \ | \ x_n \not= y_n \}$$

y

$$d(x,y) = \frac{1}{\mu(x,y)}$$

Lo que he hecho hasta ahora:

$$d(x,z) = \frac{1}{\mu(x,z)} \Leftrightarrow \mu (x,z) = \frac{1}{d(x,z)} = \min\{n\in\mathbb{N} \ | \ x_n \not= z_n\}$$

Por lo tanto

$$\min\{n\in\mathbb{N} \ | \ x_n \not= z_n\} \leq \min\{\{n\in\mathbb{N} \ | \ x_n \not= y_n\},\{ n\in\mathbb{N} \ | \ y_n \not= z_n \}\} $$

No logro averiguar qué hacer a partir de aquí.

EDIT: ¿Se aplican reglas a lo siguiente?

$$\frac{1}{\mu(x,z)} \leq \frac{1}{\min\{ \mu(x,y), \mu(y,z) \}} $$

$x_n, y_n, z_n$ son secuencias que son o bien 0 o 1.

Answer 1

Supongamos que $\mu(x,y)=n_{1}$ es finito, y $\mu(y,z)=n_{2}$ es finito. Entonces, dado que, para todo $n < n_{1}$, $x_{n}=y_{n}$ y $n