Encontrar todas las funciones $f:\mathbb{R}^+\to \mathbb{R}^+$ tal que para todo $x,y\in\mathbb{R}^+$ , $f(x)f(yf(x))=f(x+y)$

Question

Encontrar todas las funciones $f:\mathbb{R}^+\to \mathbb{R}^+$ tal que para todo $x,y\in\mathbb{R}^+$$$ f(x)f(yf(x))=f(x+y)$$

Un comienzo: establecer y=0 para obtener $f(x)f(0)=f(x)$ . Así que $f(0)=1$ a menos que $f$ es idéntico a cero.

Answer 1

En realidad no necesitamos utilizar la condición de que la función sea continua.

Denote la condición $f(x)f(yf(x))=f(x+y)$ por $(1)$

Caso I: para algunos $t$ en $\mathbb{R}^+$ , $f(t)>1$ .

Ponemos $(x,y)=(t,t/(f(t)-1))$ en $(1)$ y, en consecuencia, tenemos $yf(x)=x+y$ . Por lo tanto, tenemos $f(x)f(yf(x))=f(x+y)$ con $yf(x)=x+y$ y por lo tanto $f(yf(x))=f(x+y)>0$ . Entonces $f(t)=f(x)=1$ una contradicción.

Caso II: para todos los $t$ en $\mathbb{R}^+$ , $1≥f(t)>0$ . Además, hay al menos un $t$ tal que $f(t)=1$ .

Entonces demostramos que $f$ es constante. En caso contrario, hay otro número real positivo $r$ tal que $f(r)<1$ .

Ponemos $(x,y)=(t,kt)$ donde $k=1,2,\dotsc$ . Tenemos que $f(t)f(ktf(t))=f((k+1)t)$ Es decir, $f(kt)=f((k+1)t)$ . Entonces $f(kt)=f((k-1)t)=\dotsb=f(t)=1$ para cualquier entero positivo $k$ .

Hay un número entero $n$ más grande que $r/t$ , lo que significa que $nt>r$ . Ponemos $(x,y)=(r,nt-r)$ y tenemos $f(r)f((nt-r)f(r))=f(nt)=1$ . Así, $f((nt-r)f(r))=1/f(r)>1$ una contradicción.

Caso III: para todos $t$ en $\mathbb{R}^+$ , $1>f(t)>0$ .

Entonces demostramos que $f$ es inyectiva en primer lugar. En caso contrario, tendremos que $f(u)=f(v)$ con $u>v>0$ . Sea $(x,y)=(v,u-v)$ en $(1)$ tenemos $f(v)>f(v)f((u-v)f(v))=f(u)$ (porque $1>f((u-v)f(v))>0$ ), una contradicción.

Entonces, dejemos que $x=1$ en $(1)$ tenemos que (denota $f(1)$ por $c$ ) $cf(cy)=f(y+1)$ . Sea $y=1/f(x)$ en $(1)$ tenemos que $cf(x)=f(x+1/f(x))$ . Consideremos las dos ecuaciones anteriores, dejemos $y=x/c$ tenemos que $f(x/c+1)=cf(x)=f(x+1/f(x))$ que, al utilizar esa $f$ es inyectiva, significa que $x/c+1=x+1/f(x)$ para todos $x$ . Entonces tenemos que $f(x)=1/(ax+1)$ donde $a=1/c-1$ es una constante positiva. Es fácil comprobar que todas las funciones de esta forma satisfacen la ecuación dada $(1)$ .

QED.

Answer 2

Vale, pongo esto como respuesta ya que es lo máximo que se me ocurre por el momento:

Si suponemos que $f$ es continua y además tiene $1$ en su imagen, entonces es constante (y por lo tanto $1$ en todas partes).

Prueba: Supongamos que $f(t)=1$ . Entonces, aplicando la ecuación funcional, encontramos que $f(x)=f(t+x)=f(x+t)=f(x)f(tf(x))$ . De esto concluimos dos cosas: En primer lugar, $t$ es un periodo de $f$ . En segundo lugar, anulando las ocurrencias de $f(x)$ (ya que, después de todo, $f$ nunca es $0$ ), $f(tf(x))=1$ Es decir, $tf(x)$ también tiene esta misma propiedad que $t$ y, por lo tanto, también es un período de $f$ .

Así que si $f$ tiene algún número irracional en su imagen, entonces tendría dos períodos con relación irracional, y por lo tanto tendría períodos arbitrariamente pequeños; por la suposición de continuidad, esto significa $f$ es constante.

Pero por otro lado, si $f$ no tiene números irracionales en su imagen, entonces por continuidad, esto también significa $f$ es constante.

(Obsérvese que también se pueden obtener períodos arbitrariamente pequeños sin utilizar la continuidad si se asume que $f(x)<1$ para algunos $x$ ; pero si no se asume la continuidad, no sé cómo mostrar $f$ es constante).