probabilidad con dos variables - Sacar balones fuera de la canasta

Question

Hay 3 pelotas en la cesta: blanca, roja y negra. Tres personas eligieron una bola tras otra con retorno. $X$ son los distintos colores elegidos. $Y$ es el número de personas que eligieron el blanco.
Necesito calcular $P(X+Y3|X-Y1)$ .

Así que tengo que partir de que conseguir cada bola es probabilidad de $1/3$ , ya que es con retorno. Me estoy confundiendo con ¿Cómo puedo calcular Y? ¿Puedo decir que es una especie de distribución uniforme y tal vez tratar por eso? Es decir, que el valor esperado es $(a-b)/2$ ?

Answer 1

Podemos hacer una tabla de probabilidades de los resultados conjuntos de $(X, Y)$ . Nota $X \in \{1, 2, 3\}$ y $Y \in \{0, 1, 2, 3\}$ . Para $X = 1$ sólo existen los tres resultados $$(w,w,w), (r,r,r), (b,b,b).$$ Para $X = 2$ tenemos $\binom{3}{2}(2^3 - 2) = 18$ resultados: $$(r, r, w), (r, r, b), (r, w, r), (r, w, w), (r, b, r), (r, b, b), \\ (w, r, r), (w, r, w), (w, w, r), (w, w, b), (w, b, w), (w, b, b), \\ (b, r, r), (b, r, b), (b, w, w), (b, w, b), (b, b, r), (b, b, w).$$ Para $X = 3$ tenemos $3! = 6$ resultados, que son las permutaciones de $r, b, w$ en cierto orden. El total es $3^3 = 27$ .

En $X = 1$ tenemos $Y = 3$ con probabilidad $1/3$ o $Y = 0$ con probabilidad $2/3$ .

En $X = 2$ tenemos $Y = 0$ , $Y = 1$ , $Y = 2$ cada una con probabilidad $1/3$ .

En $X = 3$ tenemos $Y = 1$ con probabilidad $1$ .

Así que tenemos $$\begin{array}{c|cccc} \Pr[X = x, Y = y] & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline 1 & \frac{2}{27} & 0 & 0 & \frac{1}{27} \\ 2 & \frac{2}{9} & \frac{2}{9} & \frac{2}{9} & 0 \\ 3 & 0 & \frac{2}{9} & 0 & 0 \end{array}$$ El resto es simplemente condicionamiento. Seleccione aquellos resultados para los que $X - Y \ge 1$ y, entre ellas, tabular las probabilidades para las que $X + Y \le 3$ . luego divídelo por la suma de las probabilidades que has considerado.

Answer 2

Hay un total de $3^3$ formas de seleccionar 3 bolas (todas las bolas y todas las personas son diferentes).

Dado que $X$ es como máximo $3$ y $Y$ es como máximo $3$ , $X-Y \geq1$ puede significar dos casos: $$ 1) X-Y=1 $$ si se eligen 2 colores/1 blanco (WR, WB) o 1 color/0 blanco (R,B). $$ 2) X-Y=2 $$ si son 3 colores/uno blanco (WRB) o 2 colores/0 blanco (RB). La diferencia no puede ser 3, porque no puedes tener los 3 colores seleccionados sin seleccionar el blanco.

Para $X+Y$ tienes 3 casos: $$ 1)X+Y=1 $$ si se eligieran (R,B) $$ 2)X+Y=2 $$ si se eligiera un blanco (W) o (R,B) y $$ 3)X+Y=3 $$ si se eligiera (W,B) o (W,R).

¿Puede reunir estos casos suponiendo que todos los muestreos fueran independientes y con reemplazo?