Sea $A \rightarrow B$ ser etale. ¿Es la multiplicación $B \rightarrow B \otimes_A B$ fielmente plana?

Question

Sea $A \rightarrow B$ sea un morfismo de anillo etale.

Tenemos que el mapa, vía base cambiando por $-\otimes_AB$ $$ B \rightarrow B \otimes_A B$$ Es etale, es decir, lisa y, por tanto, plana.

¿Es este mapa fielmente ¿Plano?

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Mis pensamientos son aplicar 10.38.16, Proyecto Stacks . Basta con demostrar que el mapa inducido sobre Spec es suryectivo. Podría recordar brevemente que

A) $B\otimes_AB \simeq B \times B'$ de la propiedad etale con multiplicación $B\otimes_AB \rightarrow B$ coincidiendo con la proyección. ( no sé por qué)

Combinado con.

B) Dados dos anillos $R_1, R_2$ si $P$ es ideal primo en $R_1$ entonces $P\times R_2$ es ideal primo en el producto. En efecto, si $(a,b)(c,d)=(ac,bd) \in P\times R_2$ , $a$ o $c$ está en $P$ .

Deducimos que el mapa es fielmente plano.

Answer 1

Sea $X = \operatorname{Spec} A$ y $Y = \operatorname{Spec} B$ . El mapa que le interesa es la proyección $p_1 : Y \times_X Y \to Y$ en el primer factor. Como señalas, basta con comprobar que este mapa sobre $\operatorname{Spec}$ es suryectiva.

De hecho, vemos que es suryectiva, observando que $p_1 \Delta = \mathrm{id}_Y$ donde $\Delta : Y \to Y\times_X Y$ es la diagonal, inducida a partir del mapa de multiplicación $B\otimes_A B \to B$ .