Si una transformación de R a R satisface A(cx)=cAx para todo c y x en R, ¿podemos aplicar la linealidad a x (la variable)?

Question

Según la solución, tenemos Ax=A(1x)=xA(1)=ax. Tengo curiosidad por saber por qué podemos sacar la x así. Pensé que la linealidad sólo se aplica a la c escalar fijo y no la variable?

Answer 1

Si $A(cx)=cA(x)$ para todos $x,c\in \mathbb{R}$ entonces $A(1\times m)=mA(1)$ para todos $m\in \mathbb{R}$ porque si existe un $m$ tal que $A(1\times m)$ no es igual a $mA(1)$ entonces existe un $c$ (igual a $m$ ) y $x$ (igual a $1$ ) tal que la primera ecuación no se cumple , por lo tanto para cada $m\in \mathbb{R}$ Es verdad. $x$ perteneciente a $\mathbb{R}$ es verdad .