Mejor derivación de la energía potencial gravitatoria

Question

Me enseñaron esta derivación para la energía potencial gravitatoria, y no me hace mucha gracia suponiendo que $\frac{1}{\infty} = 0$ . ¿Existe una derivación mejor, ya sea utilizando un método completamente diferente, o uno similar que evite $\frac{1}{\infty}$ ?

\begin{align} \text{work done} &= \int F dx\\ &= \int_{\infty}^{r} F \, dr\\ \text{substitute} \,F &= \frac{G M m}{r^2}\\ \text{work done} &= \int_{\infty}^{r} \left(\frac{G M m}{r^2}\right)\,dr\\ &= G M m \int_{\infty}^{r} \frac{dr}{r^2}\\ &= G M m \int_{\infty}^{r} r^{-2} \, dr\\ &= G M m \left[\frac{r^{-1}}{-1}\right]_{\infty}^r\\ &= - G M m \left[\frac{1}{r} - \frac{1}{\infty}\right]\\ \text{Assuming} \, \frac{1}{\infty} = 0\\ \text{gravitational potential energy} &= -\frac{G M m}{r} \end{align}

Answer 1

Sólo tienes un problema con integrales impropias . Todo lo que necesitas hacer es usar límites, ya que puedes probar que $\lim_{r\to\infty}1/r$ va a $0$ .

\begin{align} W &= \int F dx\\ &= \lim_{b\to\infty}\int_{b}^{r} F \, dr'\\ &=\lim_{b\to\infty} \int_{b}^{r} \left(\frac{G M m}{r'^2}\right)\,dr'\\ &= G M m\lim_{b\to\infty}\int_{b}^{r} \frac{dr'}{r'^2}\\ &= G M m\lim_{b\to\infty}\int_{b}^{r} r'^{-2} \, dr'\\ &= G M m\lim_{b\to\infty}\left[\frac{r'^{-1}}{-1}\right]_{b}^r\\ &= - G M m\lim_{b\to\infty}\left[\frac{1}{r} - \frac{1}{b}\right]\\ &= -\frac{G M m}{r}+0\\ U &= -\frac{G M m}{r} \end{align}

Alternativamente, si simplemente odias usar $\infty$ en conjunto, podemos ser "más físicos" sustituyendo $\infty$ con una distancia "mucho mayor" que $r$ . De hecho, puedes hacer la integración para llegar a

\begin{align} U &= -\frac{G M m}{r}+\frac{G M m}{b}\\ &=-\frac{G M m(r-b)}{rb} \end{align}

y luego suponer que $b\gg r$ para que

$$\frac{r-b}{rb}\to-\frac{1}{r}$$