Demostrar la igualdad integral que implica una función no holomorfa.

Question

Me dan esta función:

$$I_n(R,\lambda) = \int_{\gamma_R} (z^*)^n \text{e}^{\lambda z}dz$$

Dónde $n\in \mathbb{Z}$ , $\lambda \in \mathbb{C}$ y $\gamma_R$ es el círculo centrado en $i\pi$ con radio $R$ , $C(i\pi,R)$ con $R>0$ y $R \neq \pi$ si $n<0$ .

Necesito probarlo:

$$I_n(R,\lambda) = \int_{\gamma_R} \Big{(}\frac{R^2}{z-i\pi}- i\pi\Big{)}^n \text{e}^{\lambda z}dz$$

Pero no sé por dónde empezar. Mi primera conjetura es que como el conjugado complejo no es diferenciable en ninguna parte, entonces la función dentro de la integral no es holomorfa y no podemos usar algo como la fórmula de la integral de Cauchy. He intentado hacer esta parametrización:

$$\gamma_R = \pi \text{e}^{\frac{\pi}{2}i} + R\text{e}^{i\theta}$$ Y luego sustituyendo $z = \gamma_R(\theta)$ pero no ayuda. ¿Qué puedo hacer?

Answer 1

Para todos $z$ en el círculo $C(i\pi, R)$ es $$ R^2 = |z-i\pi|^2 = (z-i\pi) (z^* + i \pi) $$ que equivale a $$ z^* = \frac{R^2}{z-i\pi} - i\pi \, . $$