Pregunta: Dada la ecuación $$c^2=a^2+(\frac{pq}{\sqrt{q^2\sin^2{\theta}+p^2\cos^2{\theta}}})^2-2a\frac{pq}{\sqrt{q^2\sin^2{\theta}+p^2\cos^2{\theta}}}\cos{\theta},$$ ¿es posible resolver $\theta$ en términos de $a,c,p,$ y $q$ ?
Problema original: Estoy intentando desarrollar un algoritmo para resolver una extensión de un problema de códigos esféricos. Esta imagen muestra un corte parcial de una solución de códigos esféricos (una esfera central con tantas esferas más pequeñas empaquetadas en ella como sea posible, cortada para mostrar la esfera interior).
Me gustaría ampliar este problema a los elipsoides, es decir, tomar un elipsoide de dimensiones dadas y empaquetar en su superficie el mayor número posible de esferas de otra dimensión dada. La ecuación anterior es una parte central de mi solución a este problema, y se deriva de la ley de los cosenos con $\theta$ como ángulo opuesto al lado $c$ y el lado $b$ sustituida por la fracción grande ( $\frac{pq}{...}$ ).
Intentos: He introducido la ecuación en la función Resolver de Matlab, en la función Reducir de Mathematica (ambas sin resultado), y en la función Resolver de Mathematica, que me ha devuelto esto:
$x = \arccos{\sqrt{(-((a^2 p^2 pq^2)/(a^4 p^4 - 2 a^2 c^2 p^4 + c^4 p^4 - 4 a^2 p^2 pq^2 - 2 a^4 p^2 q^2 + 4 a^2 c^2 p^2 q^2 - 2 c^4 p^2 q^2 + 4 a^2 pq^2 q^2 + a^4 q^4 - 2 a^2 c^2 q^4 + c^4 q^4)) + (c^2 p^2 pq^2)/(a^4 p^4 - 2 a^2 c^2 p^4 + c^4 p^4 - 4 a^2 p^2 pq^2 - 2 a^4 p^2 q^2...}}$ (truncado, de lo contrario continuaría durante 21 líneas en total)
Sin embargo, después de sustituir las variables en la expresión completa anterior, determiné que también devolvía valores falsos (p. ej. $\arccos(n)$ donde $n>1$ ).
Me preguntaba si hay alguna forma de solucionarlo a mano o si es imposible hacerlo. Gracias de antemano.
