Media de un producto normalizado de densidades

Question

Consideremos dos funciones de densidad de probabilidad unimodales $ f(x)$ y $ g(x)$ en $\mathbb{R}$ ambos simétricos en torno a sus modos $\mu_f$ y $\mu_g$ que son también sus medias y medianas.

Dada la función de densidad obtenida como su producto normalizado $$ h(x) = \frac{f(x) g(x) }{\int dy f(y) g(y)},$$ demostrar que su media $\mu_h$ se encuentra entre $\mu_f$ y $\mu_g$ .

Edición: Empecé por considerar lo que ocurriría con dos gaussianos. Según mis cálculos, el resultado es una gaussiana con media

$$ \mu = \frac{\mu_f \sigma_f^2 + \mu_g \sigma_g^2 }{ \sigma_f^2 + \sigma_g^2} $$

y con varianza

$$ \sigma^2 = \frac{\sigma_f^2 \sigma_g^2}{\sigma_f^2 + \sigma_g^2} $$

A partir de la fórmula anterior para $\mu$ es fácil ver que, efectivamente, se encuentra entre $\mu_f$ y $\mu_g$ .

Pero, ¿cómo demostrar que es cierto con todas las distribuciones unimodales?

Answer 1

Hay contraejemplos: \begin{align} f(x)&=\Big(-(x+25)^2+1\Big)^++\Big(-(x+17)^2+5\Big)^++\Big(-(x+9)^2+1\Big)^+\,,\\ g(x)&=\Big(-(x+25)^2+1\Big)^++\Big(-x^2+5\Big)^++\Big(-(x-25)^2+1\Big)^+\,. \end{align} Con normalizaciones tales que todas las integrales $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx$ , $\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)\,dx$ , $\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)f(x)\,dx$ son uno los valores esperados son $\mu_f\approx -17.0,\mu_g=0\,,\mu_h\approx\color{red}{-25.0}$ . Esto también queda intuitivamente claro al observar los gráficos:

Tenga en cuenta que $f(x)$ y $g(x)$ solapamiento sólo alrededor de la joroba más a la izquierda en $-25$ .