Un método estándar para una probabilist aquí es confiar en la generación de funciones. Es decir, fix $|s|<1$ y considerar la posibilidad de $u_x=\mathrm E_x(s^T)$, donde el subíndice $x$ significa que la caminata aleatoria se inicia a partir de $x$ e donde: $T$ denota el primer retorno a $0$ de la caminata al azar, es decir, $T=\inf\{n\ge1\mid X_n=0\}$ $(X_n)_n$ denota la caminata aleatoria a partir de $X_0=x$ y realizar los pasos $+1$ con una probabilidad de $p$ y $-1$ con una probabilidad de $q=1-p$.
Lo que están pidiendo los importes a computar $u_0$$u_1$, vamos a explicar cómo calcular $u_x$ para cada entero $x$.
Teniendo en cuenta el primer paso de la caminata, uno ve que $u_0=s(pu_1+qu_{-1})$, $u_1=s(pu_2+q)$ y $u_{-1}=s(p+qu_{-2})$. Además, a partir de $x=2$, para llegar a $0$ uno debe primero golpear $1$ y, a continuación, a partir de $1$ uno debe golpear $0$. Los tiempos para golpear $1$ a partir de $2$ y golpear $0$ a partir de $1$ a que se yo.yo.d. por lo tanto $u_2=u_1^2$. Asimismo, $u_{-2}=u_{-1}^2$ (y, de hecho, $u_x=u_1^x$ $u_{-x}=u_{-1}^x$ por cada positivo $x$).
Esto demuestra que $u_0=s(pu_1+qu_{-1})$ donde$u_1=s(pu_1^2+q)$$u_{-1}=s(p+qu_{-1}^2)$. La solución de este para $u_1$ $u_{-1}$ rendimientos
$u_1=\dfrac{1\pm\sqrt{1-4pqs^2}}{2sp}$ y una fórmula similar para$u_{-1}$, pero dado que uno quiere que $u_1$ $u_{-1}$ estancia limitada al$s\to0$, $\pm$ signos son, de hecho, $-$ signos y
$$
u_0=1-\sqrt{1-4pqs^2},\qquad
u_1=\frac{u_0}{2sp},\qquad
u_{-1}=\frac{u_0}{2sq}.
$$
El PDF de $T$ a partir de $0$, $1$ y $-1$ es totalmente codificada en $u_0$, $u_1$ y $u_{-1}$ respectivamente. Por ejemplo, la probabilidad de volver a $0$ a partir de $0$ y golpear $0$ a partir de $1$ $-1$ respectivamente, son los límites de $u_0$, $u_1$ y $u_{-1}$ al $s\to1$, es decir,
$$
\mathrm P_0(T<\infty)=1-\sqrt{1-4pq}=1-|1-2p|,
$$
y
$$
\mathrm P_1(T<\infty)=\frac1{2}\mathrm P_0(T<\infty),\quad
\mathrm P_{-1}(T<\infty)=\frac1{t2}\mathrm P_0(T<\infty).
$$
Supongamos que a partir de ahora en ese $p\ge\frac12$ (por lo tanto,$p\ge q$). A continuación,
$$
\mathrm P_0(T<\infty)=2q,\quad \mathrm P_1(T<\infty)=p/p,\quad\mathrm P_{-1}(T<\infty)=1.
$$
Asimismo, para conseguir el PDF completo sólo se requiere saber la expansión a lo largo de los poderes de $t$ de la raíz cuadrada involucrados, a saber,
$$
\sqrt{1-4t}=1-\sum\limits_{n=1}^{+\infty}c_nt^n,\quad c_n=\frac{(2n)!}{(2n-1)(n!)^2}.
$$
Se obtiene por ejemplo
$$
u_1=\frac1{2ps}\sum\limits_{n=1}^{+\infty}c_n(pq)^ns^{2n},
$$
por lo tanto, para cada $n\ge1$,
$$
\mathrm P_1(T=2n-1)=\frac1{2p}c_n(pq)^n.
$$
Asimismo, para cada $n\ge1$,
$$
\mathrm P_{-1}(T=2n-1)=\frac1{t2}c_n(pq)^n$$
y por último,
$$
\mathrm P_0(T=2n)=c_n(pq)^n.
$$
