No te estás perdiendo nada grande, es sólo un poco de álgebra lineal simple. Podría ayudarte hacerte con un libro de texto de álgebra lineal abstracta. (Aunque no voy a comentar tu pregunta sobre la representación visual, eso es otro tema, quizá adecuado para otra pregunta).
Un marco es una base ordenada $(\mathbf e_1,...,\mathbf e_n)$ de $\mathbb R^n$ .
Un sistema de coordenadas puede definirse de forma un poco más abstracta: es un isomorfismo lineal $T : \mathbb R^n \to \mathbb R^n$ . También puedes pensar en un sistema de coordenadas como una base ordenada $(t_1,...,t_n)$ del espacio dual $\text{Hom}(\mathbb R^n,\mathbb R)$ . La relación entre los dos puntos de vista de un sistema de coordenadas es la siguiente $T$ corresponde a $(t_1,...,t_n)$ sólo si $T(x) = (t_1(x),...,t_n(x))$ para todos $x \in \mathbb R^n$ . Esta relación es una biyección (entre el conjunto de isomorfismos lineales de $\mathbb R^n$ y el conjunto de bases ordenadas del espacio dual).
La relación entre los marcos y los sistemas de coordenadas es la siguiente $(\mathbf e_1,...,\mathbf e_n)$ corresponde a $(t_1,...,t_n)$ si y sólo si para todo $x \in \mathbb R^n$ tenemos $$x = t_1(x) \, \mathbf e_1 + ... + t_n(x) \, \mathbf e_n $$ Esta relación es también una biyección (entre el conjunto de bases ordenadas de $\mathbb R^n$ y el conjunto de bases ordenadas del espacio dual $\text{Hom}(\mathbb R^n,\mathbb R)$ .
Un último comentario sobre tu segunda pregunta, que como dices debería ser comprensible ahora, pero de nuevo tiene una formulación abstracta. Supongamos que la base estándar para $\mathbb R^n$ . Se tiene entonces una base estándar correspondiente para el espacio dual $\text{Hom}(\mathbb R^n,\mathbb R)$ como ya se ha dicho. Cada transformación lineal $T : \mathbb R^n \to \mathbb R^n$ se representa mediante una matriz $M$ como seguro que ya sabes. Pero entonces, hay una transformación lineal dual asociada $T^* : \text{Hom}(\mathbb R^n,\mathbb R) \to \text{Hom}(\mathbb R^n,\mathbb R)$ definido por $T^*(t)(x)= t(T(x))$ y el hecho clave es que la matriz de $T^*$ es igual al transpuesto de la matriz de $T$ .
