En Probabilidad y procesos aleatorios de Grimmett y Stirzaker, se da el siguiente ejemplo (página 68):
Mi pregunta es: ¿cómo se cumplen las tres últimas líneas (matemáticas)? Concretamente, ¿cómo se simplifican estas dos sumas?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
La distribución condicional de $N$ dado que $K = k$ es un Poisson con parámetro $q\lambda$ pero desplazado $k$ a la derecha; es decir, (condicionalmente) $N$ es de la forma $M+k$ donde $M$ es Poisson $(q\lambda)$ y así $$E[N\mid K = k] = E[M+k] = E[M]+k = q\lambda + k.$$
O, sin dedicar tiempo a pensar en el asunto, escriba $m = n-k$ y la suma como $$\begin{align}E[N\mid K = k] &= \sum_{n\geq k}n \frac{(q\lambda)^{n-k}}{(n-k)!}e^{-q\lambda}\\ &= \sum_{m \geq 0} (m+k)\frac{(q\lambda)^{m}}{m!}e^{-q\lambda}\\ &= \sum_{m \geq 0}m\frac{(q\lambda)^{m}}{m!}e^{-q\lambda} + k \sum_{m \geq 0}\frac{(q\lambda)^{m}}{m!}e^{-q\lambda}\\ & = q\lambda + k \end{align}$$ donde dejaré como sigue la última línea de la anterior como un rompecabezas para que usted lo resuelva.
