¿Cómo obtener la fórmula del volumen de una esfera utilizando la geometría?
$V = (4/3) \pi r^3$
Edición: ¿Cómo calculó Arquímedes el volumen de una esfera? La integración no habría existido en su época.
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Hagen von Eitzen
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Consideremos una esfera de radio $r$ y un cono de radio $2r$ y altura $2r$ .
Corta el cono en círculos a una distancia $x$ por debajo del vértice del cono. El círculo a la distancia $x$ tiene radio $x$ y, por tanto, el área $\pi x^2$ .
Coloca la esfera sobre una superficie plana y córtala en círculos a una distancia $x$ por encima de la superficie. El radio de dicho círculo es $\sqrt{x(2r-x)}$ y, por tanto, su superficie es $2\pi xr - \pi x^2$ .
Obsérvese que la suma de las áreas de estas circunferencias (una del cono y otra de la esfera) es $2\pi xr$ . Si los cuelgas a un lado de una balanza, a una distancia $2r$ del fulcro, entonces el momento total es $2r \times 2\pi xr = 4\pi r^2x$ .
Por tanto, pueden equilibrarse mediante un círculo de área $4\pi r^2$ (y, por tanto, de radio $2r$ ) una distancia $x$ del punto de apoyo. En conjunto, todos estos círculos forman un cilindro de radio $2r$ y altura $2r$ .
Los cinco párrafos anteriores se resumen en esta imagen, donde todas las líneas rojas tienen la misma longitud, y los dos círculos grises a la izquierda del fulcro equilibran el de la derecha.
Se puede considerar que toda la masa del cilindro está concentrada en su centro de masa, que está a una distancia $r$ del punto de apoyo. Por el principio de palanca, el volumen de la esfera más el cono debe ser igual a la mitad del volumen del cilindro. Se sabe que el volumen del cilindro y del cono son
$$V_{{\rm cylinder}} = {\rm base} \times {\rm height} = 4\pi r^2 \times 2r = 8\pi r^3$$
$$V_{{\rm cone}} = \frac{1}{3} \times {\rm base} \times {\rm height} = \frac{1}{3} \times 4\pi r^2 \times 2r = \frac{8}{3}\pi r^3$$
Por lo tanto, tenemos
$$V_{\rm sphere} + V_{\rm cone} = \frac{1}{2} V_{\rm cylinder}$$
y por lo tanto
$$V_{{\rm sphere}} = \frac{1}{2}V_{\rm cylinder} - V_{\rm cone} = 4\pi r^3 - \frac{8}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi r^3$$
QED
