Caracteres primitivos mod k

Question

Demostrar que no existe ningún carácter primitivo mod $k$ si $k=2m$ donde $m$ es impar. Esto es del Apostol Capítulo 8 Ejercicio 5 extendido para todos los personajes, reales o no.

(Corregido utilizando la solución de Bruno Joyal)

Usando Apostol Thm 8.16: $m|k$ así que toma $(a,k)=(b,k)=1$ (para que $a,b$ son impar) y tomar $a\equiv b \pmod m$ .

Entonces $a\equiv b \pmod k$ como

$a=b+rm\equiv b \pmod k$ si $r$ incluso o

$a\equiv b+m \pmod k$ si $r$ impar. Pero $b,m$ impar so $(b+m,k)\not=(a,k)=1$ . Una contradicción.

Por lo tanto, siempre que $(a,k)=(b,k)=1$ con $a\equiv b \pmod m$ entonces $a\equiv b \pmod k$ así que $\chi(a)=\chi(b)$ para cada carácter mod $k$ .

Así $m$ es un módulo inducido para $\chi$ por lo que no puede haber caracteres primitivos mod $k$ .

Answer 1

Hay un problema con su solución. Tiene razón en que $\chi(a)=-1$ para al menos un $a$ pero usted parece concluir (falsamente) que esto es válido para todo el mundo. $a$ con $(a, 2m)=1$ .

La idea es que $(\mathbb{Z}/2m\mathbb{Z})^\times \cong (\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times$ siempre que $m$ es impar. De ahí que cualquier personaje mod $2m$ realmente se eleva a un personaje mod $m$ componiendo con este isomorfismo. De hecho, hay no caracteres primitivos mod $2m$ reales o no, todos proceden de personajes mod. $m$ .