¿Qué condiciones tiene una función $f$ a cumplir a fin de que: $\frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial f}{\partial y})=\frac{\partial}{\partial y}(\frac{\partial f}{\partial x}) $?
Estoy tratando de demostrar algo más y solo lo tengo hasta este pedacito, que es generalmente cierto, pero no estoy seguro de lo que iba a ser verdad $f$ para que esto sea cierto. ¿Continuidad? ¿Diferenciable?
El Teorema de Clairaut:
Supongamos $f(x,y)$ es un valor real de la función definida en todos los de ${\mathbb R^2}$. Supongamos, además, que el segundo orden mixto derivadas parciales $f_{xy}(x,y)$ $f_{yx}(x,y)$ ambos existen y son continuas en a ${\mathbb R^2}$. A continuación, $f_{xy}=f_{yx}$ sobre todo ${\mathbb R^2}$.
El Teorema de Clairaut es sin duda el más comúnmente utilizado versión del teorema, pero que le gustaría saber un poco más de caso general en el que aún se mantiene. Esta versión va generalmente por el nombre de Teorema de Schwarz:
Teorema (Schwarz) Deje $E \subseteq \mathbb{R}^n$$f:E \to \mathbb{R}$. Deje $x_0 \in E^\circ$ y se supone que para algunos $i,j$ hay $B(x_0,r) \subseteq E$ tal que para todos los $x \in B(x_0,r)$ $\frac{\partial f}{\partial x_i}(x), \frac{\partial f}{\partial x_j}(x), \frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i}(x)$ existen. Si $\frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i}$ es continua en a$x_0$, $\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}(x_0)$ existe y $\frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i}(x_0) = \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}(x_0)$.
En la llanura inglés: si $f_x,f_y, f_{xy}$ existen cerca de $x_0$ $f_{xy}$ es continua en a$x_0$,$f_{xy}(x_0)=f_{yx}(x_0)$.
Tenga en cuenta que en el caso de que $f_{xy}$ $f_{yx}$ están en todas partes continua, el Teorema de Clairaut de la siguiente manera.
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