Mapa continuo entre espacios métricos

Question

Supongamos que $X,Y$ son espacios métricos, sea $A \subset X$ sea un subconjunto acotado de $X$ y $f: A \to Y$ sea una byección continua. Demostrar o refutar que $f^{-1}$ es continua.

Observación: Si cada subconjunto cerrado de $A$ es compacto, entonces $f$ mapearía conjuntos cerrados a conjuntos cerrados, lo que implicaría la continuidad de $f^{-1}$ . Pero, ¿cómo probar/desmentir que $f$ ¿es un mapa cerrado?

Answer 1

Sea $X = \mathbb{R}$ con métrica discreta y sea $Y = \mathbb{R}$ con la métrica habitual. Todos los mapas $X \to Y$ son continuas. No hay mapas $Y \to X$ son continuas.

Answer 2

$X=\mathbb{R},A=[0,1),Y=S^1, f:x\mapsto e^{2\pi ix}$

Answer 3

Sea $X$ sea un conjunto finito con topología discreta $d(x,y)=1 \mathrm{if} x \neq y$ y $ =0 $ de lo contrario. Y $Y$ sea el mismo conjunto con topología trivial $d(x,y)=0$ $A=X$ y $f$ es la función identidad, entonces $f$ es continua pero $f^{-1}$ seguramente no es continua.