Probabilidad de lanzamiento de un valor aleatorio X

Question

Una variable aleatoria X tiene la distribución de probabilidad

valor 1 , 2 , 3 , 4

probabilidad 0,5 , 0,25 , 0,125 , 0,125

(Para quienes estén interesados, ésta es la geometría $p=0.5$ "asesinado" en $4$ . $X$ es el número de veces que lanzo una moneda si sigo esta regla: lanzaré la moneda hasta obtener la primera cara, pero pararé después de $4$ aunque no tenga cabeza para entonces).

Encuentre $E(X)$ valor esperado y $SE(X)$ error estándar de $X$ ?

$E(X)$ = Media = $(1*0.5)+(2*0.25)+(3*0.125+(4*0.125)=1.875$ ok

$SE(X)$ =error típico de $X = SD= SQRt((1-1.875)^2 *0.5+(2-1.875)^2 *0.25+(3-1.875)^2 *0.125+(4-1.875)^2*0.125)=$

Answer 1

Se le da una variable aleatoria $X$ con función de masa de probabilidad $p_X$ dado por $$ p_X(x)=P(X=x)= \begin{cases} 0.5 &\quad\text{if }x=1 \\ 0.25 &\quad\text{if }x=2 \\ 0.125 &\quad\text{if }x=3 \\ 0.125 &\quad\text{if }x=4 \end{cases} $$ Ahora, para calcular el valor esperado se utiliza la fórmula de a variable aleatoria discreta $$ {\rm E}[X]=\sum_{x}x\cdot p_X(x). $$ Tenga en cuenta que se trata en realidad de un ponderado media de los valores $1,2,3,4$ ponderada por la probabilidad de $X$ tomando ese valor específico. Por eso tu fórmula es incorrecta, no tiene en cuenta las probabilidades/ponderación.

Ahora, para calcular el error típico, primero hay que calcular la varianza $\mathrm{Var}(X)$ de $X$ . Para ello podemos utilizar la función fórmula de cálculo : $$ \mathrm{Var}(X)={\rm E}[X^2]-{\rm E}[X]^2. $$ Ya conocemos el último término y encontrar ${\rm E}[X^2]$ es un ejercicio fácil utilizando la ley del estadístico inconsciente declarando que $$ {\rm E}[X^2]=\sum_x x^2\cdot p_X(x). $$ Para hallar el error típico basta con sacar la raíz cuadrada de la varianza.

Observe que en realidad puede calcular la varianza directamente utilizando la ley del estadístico inconsciente como $$ {\rm Var}(X)={\rm E}[(X-\mu)^2]=\sum_x (x-\mu)^2\cdot p_X(x) $$ donde $\mu={\rm E}[X]$ es el valor esperado de $X$ . Una vez más se olvidó de peso con las probabilidades de tu fórmula.

Answer 2

Para una variable aleatoria que toma valores $x_1,x_2,x_3,...,x_n$ con probabilidades $p_1,p_2,p_3,...,p_n$ el valor esperado es:

$\mu=E[X]=x_1*p_1+x_2*p_2+x_3*p_3+...+x_n*p_n$

Su solución tiene $1*\frac{1}{4}+2*\frac{1}{4}+3*\frac{1}{4}+4*\frac{1}{4}$ . Esto sería correcto si cada una de las probabilidades fuera $\frac{1}{4}$ pero este no es el caso.

El error estándar es: $\sigma=\sqrt{E[(X-\mu)^2]}=\sqrt{(x_1-\mu)^2*p_1+(x_2-\mu)^2*p_2+(x_3-\mu)^2*p_3+...+(x_n-\mu)^2*p_n}$

Su solución para el error típico no incluye ninguna probabilidad (y el valor de $\mu$ de la primera parte es incorrecta).

¿Esto ayuda?