Medibilidad del ínfimo de funciones medibles en a $\sigma$ -ring (de Halmos)

Question

Sea $(X,\mathcal S)$ sea un espacio de medidas donde $\mathcal S$ es un $\sigma$ -anillo, no necesariamente un $\sigma$ -álgebra. Siguiendo a Halmos ( Teoría de la medida ), decimos que $f:X\to\Bbb R$ es medible si $[f\ne 0]\cap f^{-1}(M)\in\mathcal S$ para cada Borel $M\subset\Bbb R$ . Dejar $(f_n)$ sea una sucesión de funciones medibles sobre $X$ queremos demostrar que $g=\inf f_n$ es medible en $X$ . En el texto se demuestra que $g$ ser mensurable equivale a $[g\ne 0]\cap [g<c]$ ser medible para cada $c\in\Bbb R$ . Ahora, él dice en la página 84 que $[g<c]=\cup [f_n<c]$ lo cual es correcto, pero esto no implica directamente que $g$ es mensurable (contrariamente a lo que parece afirmar el texto). También hay que demostrar que $[g\ne 0]$ es medible, pues entonces $[g\ne 0]\cap [f_n<c]$ es medible para cada $n$ .

El problema es escribir $[g\ne 0]$ como unión/intersección de conjuntos que sabemos que son medibles. Es evidente que $[g<0]=\cup[f_n<0]$ pero desde arriba tenemos como mucho $[g\ge 0]=\cap [f_n>0].$ ¿Cómo demostramos que $[g>0]$ ¿se puede medir?

Answer 1

Tenga en cuenta que $$[g>0]=\bigcup_{k=1}^\infty[g\ge k^{-1}],$$ y que $$[g\ge k^{-1}]=\bigcup_{n=1}^\infty [f_n\ge k^{-1}]\in\mathcal S$$ como cada $[f_n\ge k^{-1}]\in\mathcal S$ . Para comprobarlo, observe que $[f_n\ne 0]\cap[f_n\ge k^{-1}]=[f_n\ge k^{-1}]\in\mathcal S$ ya que cada $f_n$ es medible. Así, $[g>0]\in\mathcal S$ y $[g\ne 0]=[g<0]\cup [g>0]\in\mathcal S$ .