soluciones enteras de una ecuación

Question

Ahora vine con una ecuación para encontrar las soluciones en números enteros. No sólo eso, me gustaría saber otros tipos de soluciones (si existe). Encontrar las soluciones y el método para resolver la ecuación $p^3 - 2pqr = q^3 + r^3$ . Donde el $p, q, r$ pueden ser números enteros.

Answer 1

Esto define una curva cúbica con un punto racional y, por tanto, una curva elíptica. Es birracional a la 19A1 de Cremona que tiene rango $0$ y precisamente $3$ puntos racionales. Si se remontan a la ecuación original, se obtienen precisamente las soluciones triviales, $$ (p,q,r)=(k,0,k), (k,k,0) \mbox{ and } (0,k,-k) $$ para $k \in \mathbb{Z}$ .