¿Cómo resolver una EDP con dominio dependiente del tiempo?

Question

Me pregunto si es posible resolver una EDP de dominio dependiente del tiempo. Mi PDE es el siguiente:

Suponiendo que \begin{align} v&=\frac{1}{2}\left\{\frac{1}{\epsilon}-\frac{1}{u}\right\}\\ \theta(u)&=(\alpha-\beta)\epsilon^{2}\left\{\frac{1}{\epsilon^{2}}-\frac{1}{u^{2}}\right\}+(\alpha-\beta)\epsilon\left\{\frac{1}{\epsilon}-\frac{1}{u}\right\}\\ \end{align} Quiero resolver \begin{align} \begin{split} \frac{\partial W(v,z)}{\partial v}&=\frac{\partial^{2} W(v,z)}{\partial z^{2}}\\ \end{split} \end{align} donde \begin{align} \begin{split} W(0,z)&=e^{-z},\quad W(v,\theta(u))=0,\quad \theta(u)\leq z<\infty,\quad 0\leq v<\frac{1}{\epsilon}\\ \end{split} \end{align}

¿Es posible resolverlo?

Answer 1

Algunas observaciones. No una respuesta completa.

En primer lugar, como dije en los comentarios la condición en $W(0,0)$ no está claro, ya que podría ser $W(0,0)=1$ o $W(0,0)=0$ porque para $v=0$ tenemos $\theta=0$ también.

En segundo lugar, tiene sentido reducir el número de parámetros y simplificar las condiciones estableciendo:

$$2( \alpha-\beta)=a$$

$$v=\frac{1}{\epsilon}t,\qquad t \in (0,1)$$

$$\theta=ah(t)$$

$$h(t)=3t-2t^2$$

$$z=ay,\qquad z \in [h(t),\infty)$$

$$h(0)=0, \qquad h(1)=1$$

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Entonces la ecuación se convierte en:

$$\frac{\partial W(t,y)}{\partial t}= \frac{1}{\epsilon a^2} \frac{\partial^{2} W(t,y)}{\partial y^{2}}$$

$$W(0,y)=e^{-ay}$$

$$W(t,3t-2t^2)=0$$

Aquí la contradicción entre las condiciones iniciales y "límite" se hace aún más evidente.

En cuanto a esta última condición, sólo establece que para:

$$y(t)=3t-2t^2 \Rightarrow W(t,y)=0$$

El dominio del equaion tiene este aspecto:

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Aunque lo anterior no dice nada sobre el método de solución, creo que simplifica el planteamiento del problema.

En cuanto a la pregunta del OP "¿Es posible solucionarlo?". Respondo "Sí" y hago referencia a un documento de 1997 (en ruso, por desgracia), que está disponible ici que introduce un método general para resolver exactamente este tipo de problemas.