¿Cómo se relaciona la fase de Berry con la anomalía quiral?

Question

Recientemente he leído en un artículo sobre una forma muy extraña de describir la anomalía quiral a nivel cuasiclásico (es decir, a nivel de la ecuación de Boltzmann y la función de distribución).

A partir del hamiltoniano de Weyl $$ H= \sigma \cdot \mathbf p, $$ que describe fermiones quirales sin masa, realizando la transformación unitaria $$ |\psi\rangle \to V|\psi\rangle, $$ donde $|\psi\rangle$ es el estado del fermión y $V$ es $2\times 2$ matriz que diagonaliza $\sigma \cdot \mathbf p$ tal que $$ V\sigma \cdot \mathbf pV^{\dagger} = |\mathbf p|\sigma_{3}, $$ obtenemos la expresión para el elemento de la matriz $$ \langle f|e^{iH(t_{f}-t_{i})}|i\rangle \equiv \left(V_{\mathbf p_{f}}\int Dx Dp \text{exp}\left[i\int dt(\mathbf p \cdot \mathbf x - |\mathbf p|\sigma_{3}-\hat{\mathbf{a}}\cdot \dot{\mathbf p})\right]V_{\mathbf p_{i}}^{\dagger}\right)_{fi}, \quad \hat{a}_{\mathbf p} = V_{p}\nabla_{\mathbf p}V^{\dagger}_{p} $$ Eligiendo $+1$ y despreciando las componentes no diagonales de $\hat{a}_{\mathbf p}$ (lo que se denomina aproximación de adiabaticidad; no es válida cerca de $\mathbf p = 0$ ), obtenemos la siguiente acción cuasiclásica: $$ S = \int dt (\mathbf p \cdot \dot{\mathbf x} - |\mathbf p| - \mathbf a \dot{\mathbf p}) $$ La cantidad $\mathbf a$ (que se denomina Fase de bayas ) desempeña el papel de campo gauge en la representación del momento, con curvatura $$ \mathbf b = \nabla \times \mathbf a = \frac{\mathbf p}{|\mathbf p|^{3}} $$ El efecto de esta fase Berry no existe cuando $\dot{\mathbf p} = 0$ .

Sin embargo, si activamos el campo electromagnético externo, pasa a ser relevante. Obtenemos que el elemento invariante del volumen de fase es $$ dV = \frac{d^{3}\mathbf x d^{3}\mathbf p}{(2\pi)^{3}}\Omega (\mathbf p), \quad \Omega (\mathbf p) = (1 + \mathbf b \cdot \mathbf B)^{2}, $$ donde $\mathbf B$ es el campo magnético. Esto capta el efecto de anomalía quiral, $$ \tag 1 \dot{\rho} + \nabla_{\mathbf r}(\rho \dot{\mathbf r}) + \nabla_{\mathbf p}(\rho \dot{\mathbf p}) = 2\pi \mathbf E \cdot \mathbf B \delta^{3}(\mathbf p), \quad \rho = f\Omega , $$ con $\mathbf E$ siendo el campo eléctrico y $f$ siendo función de distribución.

No entiendo cómo esta fase baya conduce a la descripción de la anomalía quiral. Aparecen por razones diferentes (la anomalía surge debido al jacobiano no trivial de la transformación quiral, mientras que la fase de Berry surge debido a manipulaciones formales), la anomalía tiene una naturaleza topológica relacionada con la diferencia del número de modos nulos del operador de Dirac, mientras que la fase de Berry no tiene tal origen. Por último, la rhs de $(1)$ es distinto de cero sólo cuando se viola la aproximación de adiabaticidad (y por lo tanto el resultado no es válido).

¿Podría alguien explicarme la razón por la cual la fase baya describe de algún modo los efectos de la anomalía a nivel cuasiclásico?

Answer 1

Sin embargo, se expresa en modelos de partículas puntuales muy sencillos. Se trata de una comprensión muy reciente del papel de la fase Berry en las anomalías y de sus implicaciones experimentales. Recomiendo lo siguiente artículo de: Dwivedi y Stone, para una exposición clara de estos hechos.

Como es bien sabido, la adición de un término del $\int i e \mathbf{A}(x).\dot{\mathbf{x}} dt$ a una partícula Lagrangiana hace que la partícula esté cargada con una carga eléctrica $e$ . En este caso, interpretamos el campo $\mathbf{A}(x)$ como potencial gauge electromagnético.

Si en su lugar, o además añadimos un término similar en el que $\mathbf{A}$ es un monopolo de Dirac en el espacio de momento (se sabe que es la conexión de Berry de una partícula giratoria), este término modifica el término de potencial simpléctico del Lagrangiano.

Como resultado, observamos los dos fenómenos siguientes:

1. Para una partícula relativista sin masa, es decir, cuyo Hamiltoniano es:

$$ H(p) = |\mathbb{p}|$$

este término fija el espín a la dirección del momento, por lo que el lagrangiano completo describe una partícula relativista sin masa que gira, de modo que el coeficiente del monopolo magnético es exactamente la helicidad de la partícula.

2. Cuando además se activa una interacción electromagnética, la corriente electromagnética se vuelve anómala de forma que la no conservación de la carga viene dada por la conocida fórmula de la anomalía quiral.

Así pues, la adición de este término a una Lagrangiana de una partícula relativista sin masa la hace quiral además de giratoria y la anomalía puede deducirse mediante una aplicación directa del teorema de Noether.

En un informe muy reciente artículo de Dwivedi y Stone, generalizan el cálculo de anomalías a una dimensión arbitraria. Su construcción incluye una explicación más profunda del mecanismo subyacente.

En primer lugar, nótese que la fase de Berry abeliana/no abeliana son holonomías sobre haces de líneas/vectores sobre el espacio de fase. Las holonomías sobre bucles infinitesimales vienen dadas por las primeras clases de Chern de estos haces.

Sin embargo, la anomalía (por el teorema del índice) viene dada por el carácter de Chern integrado sobre el espacio-tiempo.

Dwivedi y Stone dio una respuesta de cómo la clase de Chern se promueve en el carácter de Chern en la ecuación de anomalía, que voy a dar una explicación cualitativa en el siguiente. (Los cálculos reales son bastante pesados. Muy probablemente aparecerán trabajos posteriores que incluirán simplificaciones)

En primer lugar, muestran que la medida de Liouville de su modelo no se conserva debido a que el campo gauge monopolar que deforma la estructura simpléctica es singular. El teorema de Liouville se basa en el hecho de que la estructura simpléctica es suave.

En segundo lugar, las corrientes de Noether son proporcionales a la (raíz cuadrada de) la medida de Liouville del modelo, la razón es que para las partículas puntuales las corrientes deben ser proporcionales a la velocidad de la partícula. Sin embargo, la velocidad es un vector 1, mientras que las corrientes son formas 1, por lo que deben obtenerse como duales de Hodge del vector velocidad (que incluye la multiplicación por la raíz cuadrada de la medida de Liouville).

Así, la anomalía en la medida de Liouville induce la anomalía en las corrientes.

Ahora, sólo hay un término que tiene una integral angular no evanescente sobre el espacio de momento no compacto, este es el término en el que aparecen tanto el campo gauge no abeliano como los campos de Berry son a la potencia de la mitad de la dimensión espacial.

Este término es divergente y Dwivedi y Stone muestran cómo regularizarlo. La observación importante es que es el coeficiente del carácter de Chern correspondiente a la dimensión espacio-tiempo que da la anomalía esperada.

Answer 2

He colaborado con los autores de ese trabajo. En la sección 2.6 de mi tesis Expliqué las relaciones entre el cálculo cuántico completo de la anomalía quiral, la imagen (semiclásica) del flujo espectral de Nielsen-Ninomiya y la imagen (casi clásica) de la curvatura de Berry con los mejores detalles de mi conocimiento.

Permítanme resumir brevemente las ideas.

Nielsen y Ninomiya ha proporcionado un cálculo de la anomalía quiral en términos de flujo espectral, en el contexto de lo que hoy se conoce como semimetal de Weyl. Por supuesto, en textos estándar como los de Peskin y Schroeder, la anomalía quiral en la física de partículas también se enseñaba en términos de flujo espectral. La distinción es menor. Sabemos que las anomalías quirales tienen interpretaciones IR y UV. El flujo espectral a través de la energía cero (nodo de Weyl) es una interpretación IR; pero las partículas "deben haber ido a alguna parte", y eso lo captan las condiciones de contorno UV. En el semimetal de Weyl, los nodos de Weyl izquierdo y derecho se conectan en el UV (en lo profundo de la banda de valencia). Por otro lado, para el fermión de Weyl en la física de partículas, no sabemos cuál es el UV real, por supuesto, pero podemos imaginarnos un mar de Dirac infinitamente profundo, y la condición de contorno UV es simplemente que el flujo hacia la energía negativa infinita es opuesto para los fermiones de Weyl izquierdo y derecho -- esta suposición es necesaria para la conservación de la carga U(1) total. Así que en los dos contextos la diferencia es sólo lo que decimos sobre el UV, pero dan esencialmente la misma física IR.

Una vez que tenemos la imagen del flujo espectral, podemos hacer una fácil conexión con el cálculo de la fase Berry. En el cálculo de la fase de Berry, la forma 2 simpléctica es cerrada excepto en el punto $p=0$ Punto de Weyl, lo que significa que este punto del espacio de momentos es un sumidero o una fuente del flujo de medidas de Liouville. Por supuesto, la mecánica clásica se rompe en este punto (a grandes rasgos, el cálculo clásico sólo sirve para $\partial_x \ll p$ ), así que lo que el cálculo de la fase de Berry nos dice en realidad es de nuevo una condición de contorno -- pero ahora no es una condición de contorno UV, sino una condición de contorno IR alrededor de la vecindad del $p=0$ punto (donde falla la mecánica clásica): Lo que hemos calculado es cuántas partículas han entrado/salido de la vecindad de $p=0$ . Se encuentra que las cantidades son efectivamente opuestas para los fermiones de Weyl izquierdo y derecho, y la cantidad está de acuerdo con el cálculo cuántico de la anomalía quiral.

Notas añadidas:

Esta concordancia se espera porque el formalismo (semi)clásico de la curvatura de Berry puede extraerse de la mecánica cuántica a la primera corrección en $\hbar\partial_x$ (por ejemplo, véase el artículo al que se refiere; la sección 2.4 de mi tesis contiene una derivación más detallada en casos generales, incluido el campo electromagnético de fondo), que es el orden de la anomalía quiral $\partial_x J \sim \hbar \partial_x A \partial_x A$ .

Por otra parte, en el campo gravitatorio, $\partial_x J \sim \hbar (\hbar\partial_x^2 g) (\hbar\partial_x^2 g)$ no hay un recuento de pequeñez consistente que lo haga funcionar. Existe un recuento que permite deducir la anomalía quiral gravitatoria si la curvatura es puramente espacial, pero sacrificando la invariancia de Lorentz (como esto es algo insatisfactorio, no está escrito en ninguna parte).

Un problema similar existe para el campo gauge no abeliano, donde $\hbar F\sim \hbar\partial_x A + A^2$ . Por coherencia en el recuento de potencia, se podría contar $A \sim \hbar\partial_x$ (un problema que no existía en el caso abeliano), por lo que la anomalía quiral no abeliana presenta el mismo problema que la gravitatoria. Por ejemplo, en este papel mencionado en la otra respuesta, obtuvieron la anomalía quiral no abeliana en un modelo no invariante Lorentz y encuentran el resultado correcto; pero no hay ninguna modificación del modelo semiclásico que pueda hacerlo invariante Lorentz.