Distribución y desigualdad diferencial de segundo orden

Question

Me gustaría resolver el siguiente $2^{\mathrm{nd}}$ diferenciales de orden de la desigualdad $$ \theta_F'(x) = \frac{2F'(x)^2 - F(x)F"(x) + F"(x)}{F'(x)^2} < 0 $$ para algunos subinterval $I \subset [0,+\infty)$, sujeto a la condición de que $F$ es una función de distribución acumulativa, es decir, $$ \lim_{x \a\infty} F(x) = 0, \qquad \lim_{x \+\infty} F(x) = 1. $$ Es esto algo factible? Por factible que quiero decir, puedo esperar de una solución de forma cerrada para $F$ dadas estas condiciones?

He tratado de resolver al $\theta'_F(x) = 0$ pero no estoy seguro de cómo esto podría ser útil.

Esta ODA viene a partir de la diferenciación $$ \theta_F(x) = x - \frac{1-F(x)}{f(x)} = x - \frac{1-F(x)}{F'(x)}. $$ Básicamente, estoy buscando una forma general para las distribuciones $F$ tal que $\theta_F(x)$ está disminuyendo en algunos subinterval de $x \in [0,+\infty)$.

Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Para cada % dejó $F$$H_F=1/(1-F)$y $$(F')^2\cdot\theta'_F=H_F''\cdot(1-F)^3,$$ hence the condition that $ \theta'_F\lt0$ on the interval $I$ is equivalent to the fact that the function $H_F$ is strictly concave on $I$.

Cada % CDF $F$tal es estrictamente cóncava en % que $H_F$ $I$resuelve la desigualdad, así, cada $F=1-1/h$ $h\gt1$ càdlàg, creciente y cóncava en $I$, soluciona la desigualdad.

Ejemplos: El % PDF $f_{a,c}$por $$f_{a,c}(x)=\dfrac{ac\mathbf 1_{x\geqslant0}}{(1+cx)^{a+1}},$$ for every $x$ solves this on every $I\subseteq (0, \infty) $, for every parameters $c\gt0$ and $a$ in $ (0,1) $. Likewise for the PDF $ f_ {a, b, c} $ defined by $% $ $f_{a,b,c}(x)=(\mathrm e^{a\xi}-b)\frac{a\mathrm e^{ax}\mathbf 1_{x\gt\xi}}{(\mathrm e^{ax}-b)^2},$para cada $(a,b,\xi)$ tal que $a\gt0$ y $\mathrm e^{a\xi}\gt b$, en cada intervalo de $I\subseteq(\xi,\infty)$.

Answer 2

Demasiado largo para un comentario. Observe que $$\frac{d\theta}{dx}=\frac{2(F'(x))^2-F(x)F''(x)+F''(x)}{(F'(x))^2}=2+F''(x)\cdot\frac{1-F(x)}{(F'(x))^2}$$ si $$\frac{d\theta}{dx}<0$$ más de un intervalo, a continuación, una condición necesaria sería $$F''(x)<0$$ en ese intervalo. Deje que este intervalo de $[a,b)\subseteq(0,\infty)$ es decir $$\frac{d\theta}{dx}<0$$ para todos los $x\in[a,b)$. Entonces $$2+F''(x)\cdot\frac{1-F(x)}{(F'(x))^2}<0\Leftrightarrow \frac{F''(x)}{F'(x)}<-2\frac{F'(x)}{1-F(x)}$$ La integración de ambos lados $$\int^{y}_{a}\frac{F''(x)}{F'(x)}\,dx<\int^{y}_{a}-2\frac{F'(x)}{1-F(x)}\,dx$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\int^{y}_{a}\frac{d(F'(x))}{F'(x)}<\int^{y}_{a}2\frac{d(1-F(x))} {1-F(x)}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\ln|F'(x)|\Big|^{y}_{a}<2\ln|1-F(x)|\Big|^{y}_{a}$$ donde$a\geq0$$y\in(a,b)$. A continuación, el resultado anterior se puede reescribir como $$\ln(F'(x))\Big|^{y}_{a}<\ln(1-F(x))^2\Big|^{y}_{a}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\ln\Big[\frac{F'(y)}{F'(a)}\Big]<\ln\Big[\frac{(1-F(y))^2}{(1-F(a))^2}\Big]$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\frac{F'(y)}{F'(a)}<\frac{(1-F(y))^2}{(1-F(a))^2}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\frac{F'(y)}{(1-F(y))^2}<\frac{F'(a)}{(1-F(a))^2}$$ que tiene para todos los $y\in(a,b)$. Desde $y>a$ integrando ambos lados de la desigualdad anterior en el intervalo de $[a+\epsilon,z)$ donde $\epsilon>0$ $z\leq b$ rendimientos $$\int^{z}_{a+\epsilon}\frac{F'(y)}{(1-F(y))^2}\,dy<\int^{z}_{a+\epsilon}\frac{F'(a)}{(1-F(a))^2},dy$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\frac{1}{(1-F(z))}-\frac{1}{(1-F(a+\epsilon))}<\frac{F'(a)}{(1-F(a))^2}(z-a-\epsilon)$$ Dejando $\epsilon\to0$ rendimientos $$\frac{1}{(1-F(z))}-\frac{1}{(1-F(a))}<\frac{F'(a)}{(1-F(a))^2}(z-a)$$ Denotando por $$G(z)=\frac{1}{(1-F(z))}$$ luego de la última expresión es equivalente a $$G(z)-G(a)<G '(a)(z-a)\Leftrightarrow G(z)<G '(a)(z-a)+G(a)$$$$\Leftrightarrow F(z)<1-\frac{1}{G '(a)(z-a)+G(a)}$$ Desde $F(z)$ es un cdf, a continuación, $F(z)\geq F(a)$ todos los $z\geq a$ por tanto cualquier cdf debe satisfacer $$1-\frac{1}{G(a)}=F(a)\leq F(z)<1-\frac{1}{G '(a)(z-a)+G(a)}$$

Answer 3

Subintervalo el OP, dice. A continuación tenemos un ejemplo muy sencillo que se adapta a la ley, a no ser que me falta algo (como diferenciable en todas partes). Puesto: $$ f (x) = \left\ \quad {\begin{array}{lll} 0 & \mbox{for} & x \le 0 \\ \sqrt{x} & \mbox{for} & 0 \le x \le 1 \\ 1 & \mbox{for} & 1 \le x \end{matriz} \right. \qquad \Longrightarrow \quad \theta_F'(x) < 0 \quad \mbox{for} I = \left (0, \frac{1}{9} \right) $$