La inclusión de una variedad real compacta orientada determina una clase de cohomología

Question

Intento resolver la siguiente pregunta que me ha planteado mi profesor: Sea $V \subset X$ sea una inclusión de variedades reales compactas orientadas. Supongamos que codim $_X V = r$ . Utilizando el emparejamiento bilineal a través del producto cuña entre $H^k_{DR}(X, \mathbb{R})$ y $H^{n-k}_{DR}(X, \mathbb{R})$ mostrar mediante la integración de formularios sobre $V$ que $V$ determina de forma natural una clase cohomológica $[V] \in H^r_{DR}(X, \mathbb{R})$ .

No tengo ni idea de cómo empezar con este problema. La pregunta esencialmente pide asociar canónicamente un cerrado $r-$ forma hasta la exactitud utilizando el emparejamiento bilineal, pero no soy capaz de llegar a tal procedimiento.

Answer 1

Sea $k=\operatorname {dim}(V)=n-r$ . Existe un mapa canónico $$res: H^k(X)\to H^k(V): [\omega ]\mapsto [\omega \vert V]$$ obtenida restringiendo la diferencial $k$ -formas en $X$ a $V\subset X$ .
Integración en $V$ da lugar a una forma lineal $$\int_V:H^k(V)\to \mathbb R$$ y la composición $\int_V\circ res:H^k(X)\to \mathbb R$ es una forma lineal $l\in (H^k(X)^*$ .
El punto crucial ahora es que tenemos un isomorfismo de Poincaré $$\operatorname {Poinc}: H^{r }(X)\stackrel {\sim}{\to} (H^k(X))^*:[\eta]\mapsto \langle [\phi] \mapsto \int_X \eta\wedge \phi\rangle$$ Su clase requerida es entonces $[V]=(\operatorname {Poinc})^{-1}(l)$