Es el espacio de subespacios lineales semidimensionales simplécticos de $\mathbb{R}^{4n}$ que intersecan trivialmente $\mathbb{R}^{2n}\times\{0\}$ ¿contraíble?

Question

Me gustaría saber si el subespacio del Grassmaniano simpléctico $Gr_{2n}^{Sp}(\mathbb{R}^{4n})$ consistente en subespacios lineales simplécticos en $\mathbb{R}^{4n}$ que tienen dimensión $2n$ y tienen intersección trivial con el subespacio semidimensional estándar $\mathbb{R}^{2n} \times \{0\}$ es contraíble.

(La afirmación correspondiente para el complejo grassmaniano, que el espacio de subespacios lineales complejos semidimensionales de $\mathbb{C}^{2n}$ que intersecan trivialmente $\mathbb{C}^{n} \times \{0\}$ es contractible, es verdadera, ya sea utilizando un mapa de proyección para $\{0\} \times \mathbb{C}^{n}$ para construir una contracción explícita o demostrando que este espacio es el interior de la celda de Schubert de dimensión superior en una descomposición de celdas estándar para el Grassmaniano).

Answer 1

La respuesta es "no", pero ver esto depende de si su "subespacio semidimensional estándar $\mathbb{R}^{2n}\times \lbrace0\rbrace$ es simpléctico o no como subespacio de $\mathbb{R}^{4n}$ . (No has especificado la estructura simpléctica en el espacio ambiente).

Por ejemplo, cuando $n=1$ si $\mathbb{R}^{2}\times \lbrace0\rbrace\subset \mathbb{R}^{4}$ es Lagrangiano, entonces el subespacio que mencionas no es contractible, ni siquiera está conectado. Usted puede ver esto de la siguiente manera: Si $e_1$ y $e_2$ son una base del subespacio dado y $\Omega(e_1,e_2)=0$ entonces podemos completarlos a una base $e_1,e_2,e_3,e_4$ tal que $$ \Omega(e_1,e_3)=-\Omega(e_3,e_1)=\Omega(e_2,e_4)=-\Omega(e_4,e_2)=1 $$ y todos los demás $\Omega(e_i,e_j)=0$ . Si $S\subset\mathbb{R}^4$ es un subespacio tal que es independiente del dado $2$ -entonces tiene una base única de la forma $v_3=e_3+p_{31}e_1+p_{32}e_2$ y $v_4=e_3+p_{41}e_1+p_{42}e_2$ . A continuación, calculamos que $$ \Omega(v_3,v_4) = p_{32}-p_{41} $$ y la condición para $S$ para ser simpléctico es justo eso $p_{32}-p_{41}\not=0$ por lo que el conjunto de tales $S$ ni siquiera está conectado.

Por otra parte, si $\mathbb{R}^{2}\times \lbrace0\rbrace\subset \mathbb{R}^{4}$ es simpléctica, entonces podemos elegir una base $e_1,e_2,e_3,e_4$ de $\mathbb{R}^4$ tal que $e_1$ y $e_2$ abarcan el subespacio dado y $$ \Omega(e_1,e_2)=-\Omega(e_2,e_1)=\Omega(e_3,e_4)=-\Omega(e_4,e_3)=1 $$ y todos los demás $\Omega(e_i,e_j)=0$ . Ahora bien, si $S\subset\mathbb{R}^4$ es un subespacio tal que es independiente del dado $2$ -entonces tiene una base única de la forma $v_3=e_3+p_{31}e_1+p_{32}e_2$ y $v_4=e_3+p_{41}e_1+p_{42}e_2$ . A continuación, calculamos que $$ \Omega(v_3,v_4) = 1 + p_{31}p_{42}-p_{41}p_{32} $$ y la condición para $S$ para ser simpléctico es justo eso $1 + p_{31}p_{42}-p_{41}p_{32}\not=0$ por lo que el conjunto de tales $S$ es difeomorfo al complemento en $\mathbb{R}^4$ de una copia de $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ . De nuevo, no se trata de un conjunto conexo.