cuánto mide el lado mayor del triángulo en comparación con el otro lado

Question

Sea $T$ sea un triángulo con vértice $A$ , $B$ y $C$ y longitudes de los lados $a$ , $b$ y $c$ opuesto a su vértice. Tenemos $c\geq b\geq a$ . Consideremos un segmento de recta que une el punto medio de $AB$ con $C$ . Sea el punto medio $L$ y la longitud de $CL$ sea $l$ . ¿Podemos tener un límite inferior $\alpha>0$ en $c-l$ es decir $c-l \geq \alpha$ ?

He intentado aplicar la desigualdad triangular. Tenemos $a+\frac{c}{2}> l $ lo que a su vez implica $c-l>\frac{c}{2}-a$ . Sin embargo, si $a \geq \frac{c}{2}$ este resultado es obvio. También tenemos $b>l$ . Así, $c-l >c-b$ . Si $c=b$ entonces $\alpha=0$ . Quiero un $\alpha >0$ .

Answer 1

Podemos demostrar que $$c-l\geq\left(1-\frac{\sqrt3}{2}\right)c$$ o $$\frac{\sqrt3}{2}c\geq\frac{1}{2}\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}$$ o $$3c^2\geq2a^2+2b^2-c^2$$ o $$2c^2-a^2-b^2\geq0.$$ La igualdad se produce para $a=b=c$ ,

que dice que $1-\frac{\sqrt3}{2}$ es un valor máximo de $k$ para la cual la desigualdad $$c-l\geq kc$$ es cierto para todos los triángulos con $c\geq b\geq c$ .

Por cierto, para $c\rightarrow0^+$ en $c-l\geq\alpha$ obtenemos $0\geq\alpha$ lo que da $\alpha=0$ es un máximo $\alpha$ ,

para las que su desigualdad es cierta.